Alle Berechnungen unterstützen Einheiten und symbolische Auswertung.
Grundsätzlicher Aufbau der Ergebnis-Berechnung einer berechnenden Frage
Schema der Berechnung
Die Berechnung und die Beurteilung einer Frage teilt sich in 3 grundsätzliche Schritte:
Berechnnug der Lösung aus den Maxima-Feldern
Berechnung des Ergebnisses durch Einsetzen der Datensätze
Beurteilung der Schülereingabe durch Vergleich mit dem Ergebnis
Konstante
Alle Konstante welche in Letto definiert sind beginnen mit einem Prozentzeichen. Verwendet man den Variablennamen ohne Prozenzzeichen, so wird die Konstante wie eine Variable mit dem Wert der Konstanten verwendet.
Liste der definierten Konstanten:
Name
Wert
Beschreibung
%i
i
komplexer Parameter als Lösung der Gleichung x^2=-1
%j
i
komplexer Parameter als Lösung der Gleichung x^2=-1
%e
2.718281828459045
Eulersche Zahl
%pi
3.141592653589793
Kreiszahl
%mu0
magnetische Feldkonstante
4*%pi*1E-7'Vs/Am'
%m0
magnetische Feldkonstante (alt, wird bald entfernt werden)
4*%pi*1E-7'Vs/Am'
%epsilon0
elektrische Feldkonstante
8.85418781762039E-12'As/Vm'
%e0
elektrische Feldkonstante (alt, wird bald entfernt werden)
8.85418781762039E-12'As/Vm'
%c0
Lichtgeschwindigkeit
299792458'm/s'
%Qe
Elementarladung
1.602176620898E-19As
%g
Erdbeschleunigung
9.81'm/s^2'
%NA
Avogadro Konstante
6.02214085774E23/mol
%k
Stefan Bolzman Konstante
1.3806485279E-23'J/K'
%R0
Universelle Gaskonstante
8.314459848'J/Kmol'
%h
planksches Wirkungsquantum
6.6260704081E-34Js
Berechnung mit Maxima
Maxima wird nur für symbolische Berechnungen bei der Erstellung von Beispielen verwendet. Hierbei wird, wie schon oberhalb im Schema angegeben, zuerst die Moodle.mac geladen, dann das Maxima-Feld berechnet und anschließend die Maxima-Felder aller Teilfragen. Das Ergebnis der Berechnung wird dann als symbolischer Ausdruck im Lösungfeld eingetragen.
Da zum Zeitpunkt der Maxima-Berechnung keine Datensätze vorhanden sind, kann keine numerische Berechnung in Maxima durchgeführt werden, welche die Datensätze benötigt. Dies muss der interne Parser zum Zeitpunkt des Online-Test-Laufes erledigen. Numerische Berechnungen, welche der interne Parser nicht kann können deshalb auch nicht mit Maxima berechnet werden.
Da das Lösungsfeld, welches mit Maxima berechnet wird symbolisch ausgewertet wird, können in Maxima sämtliche symbolischen Berechnungsverfahren angewendet werden, welche ein symbolisches Ergebnis liefern und keine numerischen Werte der Datensätze benötigen.
Berechnung mit dem internen Parser
Der interne Parser kann durch Wahl der Checkbox "Parser" anstatt von Maxima für die Berechnung des Maxima-Feldes verwendet werden.
Jedenfalls wird der Parser zur Test-Laufzeit für die Berechnung des Ergebnisses einer Frage aus Lösung und Datensätzen und zum Berechnen der Schülereingabe verwendet.
Operatoren
VORSICHT mit MAXIMA
Einige Operatoren sind in Maxima anders, oder nicht definiert. Möchte man im Maximafeld die Operatoren des Parsers-verwenden, so muss das gesamte Maxima-Feld mit dem Parser gerechnet werden. Man verliert dadurch jedoch die Vorteile der Maxima-Berechnung.
Alternativ kann man statt der Operatoren auch Funktionen verwenden (zB: ne() statt != ). Diese werden dann von Maxima zwar nicht ausgewertet, die Berechnung bleibt aber trotzdem korrekt und kann mit Maxima durchgeführt werden.
Es gibt einige Funktionen welche in Maxima existieren aber im Parser nicht, oder mit anderem Syntax.
Wenn diese von Maxima nicht ausgewertet werden können, da sie Datensätze enthalten welche zu Auswertezeitpunkt von Maxima noch nicht mit Werten belegt sind, dürfen sie in der Berechnung nicht verwendet werden, da der Parser dann damit nichts anfangen kann.
Solche Funktionen haben entweder im Parser eine alternative Schreibweise welche auch mit Maxima verwendet werden kann (z.B.: wenn), oder sie können prinzipell nicht verwendet werden. (Für wichtige Funktionsweisen könnte man in zukünftigen Versionen neue Funktionalitäten in den Parser einbauen, die die gewünschte Funktion erfüllen)
Ein weiter Möglichkeit für die Verwendung solcher Funktionen ist der Verzicht auf Datensätze in diesen Funktionen, damit diese Funktion beim Auswerten des Maxima-Feldes bereits ausgewertet werden kann und somit der Parser davon nichts mehr sieht.
zB:
if then
Infix Operatoren
arithmetische Operatoren
Operator
Priorität
Beschreibung
Beispiel
Ergebnis
+
40
Addition
4+5
9
-
40
Subtraktion
6-2
4
*
50
Multiplikation
4*5
20
/
51
Division
20/4
5
%
51
Divisionsrest
104%20
4
/ /
60
Parallelschaltung
x / / y
x*y/(x+y)
^
90
Potenz
2^3
8
.*.
200
Operator der intern für eine fehlende bindende Multiplikation verwendet wird
4x
4*x
Bitoperatoren
Operator
Priorität
Beschreibung
Beispiel
Ergebnis
20
Bitweise ODER
5
13
or
20
Bitweise ODER
9 or 5
13
&
21
Bitweise UND
13&10
8
and
21
Bitweise UND
13 and 10
8
xor
22
Bitweise exklusiv oder XOR
13 xor 10
7
imp
23
Bitweise impliziert IMP
13 imp 10
8
<<
35
Bitweise links schieben
5<<2
20
>>
35
Bitweise rechts schieben
8>>2
2
Vergleichsoperatoren
Operator
Priorität
Beschreibung
Beispiel
=
3
Gleichungsoperator
x=y
==
30
Gleichungsoperator
x==y
!=
30
Ungleichungsoperator
x!=y
<
32
Kleiner
x<y
<=
32
Kleiner gleich
x<=y
>
32
größer
x>y
>=
32
größer gleich
x>=y
Organisative Operatoren
Operator
Priorität
Beschreibung
Beispiel
Ergebnis
,
0
Listen-Trennzeichen
x,y
$
1
Trennzeichen zwischen mehreren Berechnungen
;
1
Trennzeichen zwischen mehreren Berechnungen
:
2
Zuweisung an eine Variablen auf der linken Seite
x:5
Prefix Operatoren
Operator
Priorität
Beschreibung
Beispiel
Ergebnis
+
45
positives Vorzeichen
+5
5
-
45
negatives Vorzeichen
-(-5)
5
~
95
bitweise Inversion einer 64bit-Ganzzahl
~0x0F0F
0xFFFFFFFFFFFFF0F0
!
120
logisches NOT
!(3<4)
false
++
130
Inkrement von Ganzzahlen
++x
erhöht x um eins und gibt das Ergebnis nach der Erhöhung zurück
--
130
Dekrement von Ganzzahlen
--x
vermindert x um eins und gibt das Ergebnis nach der Verminderung zurück
%
200
Prefix für Namen, welche als Konstante definiert sind
%pi
3.141592653589793
Suffix Operatoren
Operator
Priorität
Beschreibung
Beispiel
Ergebnis
++
135
Inkrement von Ganzzahlen
x++
erhöht x um eins und gibt den Variablenwert vor der Erhöhung zurück
--
135
Dekrement von Ganzzahlen
x--
vermindert x um eins und gibt den Variablenwert vor der Verminderung zurück
Klammern
() runde Klammern werden für mathematische Ausdrücke zur Klammerung verwendet
{} geschwungene Klammer werden im Angabetext für die Namen der Datensätze verwendet
[] eckige Klammern werden für Vektoren und Matrizen verwendet
Funktionen
Funktionen für Ganzzahlen
Funktion
Beschreibung
Beispiel
Ergebnis
band
bitweises UND
band(4,12)
4
bor
bitweises ODER
bor(4,1)
5
bxor
bitweises EXKLUSIV ODER
band(4,5)
1
bimp
bitweises Parameter1 impliziert Parameter2
bimp(13,10)
8
binv
bitweises NICHT mit 8 bit
binv(0x0F)
0xF0
shl
Schiebe Ganzzahl bitweise nach links
shl(8,2)
32
shr
Schiebe Ganzzahl bitweise nach rechts
shr(8,2)
2
div
Ganzzahldivision, Ergebnis wird abgeschnitten
div(5,2)
2
mod
Modulo: Divisionsrest einer Ganzzahldivision
mod(5,2)
1
inv8
bitweise Invertieren und die letzten 8 Bit bestimmen
inv8(0b1001)
0b11110110
inv16
bitweise Invertieren und die letzten 16 Bit bestimmen
inv16(0xF0)
0xFF0F
inv32
bitweise Invertieren und die letzten 32 Bit bestimmen
inv32(0xF0)
0bFFFFFF0F
inv64
bitweise Invertieren und die letzten 64 Bit bestimmen
inv64(0xF0)
0bFFFFFFFFFFFFFF0F
byte
Zahl in eine Ganzzahl wandeln und die letzten 8bit der Zahl Abschneiden, Einheit geht verloren
byte(34.2)
34
word
Zahl in eine Ganzzahl wandeln und die letzten 16bit der Zahl Abschneiden, Einheit geht verloren
word(34.2)
34
int
Zahl in eine Ganzzahl wandeln und die letzten 32bit der Zahl Abschneiden, Einheit geht verloren
int(34.2)
34
long
Zahl in eine Ganzzahl wandeln , Einheit geht verloren
Erzeugt aus einer Ganzzahl einen Bitstrom als String mit einer definierten Anzahl von Bit (MSB werden nötigenfalls mit 0 gefüllt) : bitstream(Daten,Bitanzahl)
bitstream(0x184,12)
"000110000100"
boolsche Funktionen
Funktion
Beschreibung
Beispiel
Ergebnis
eq
gleich
ge(4,4)
true
ne
ungleich
ne(6,4)
true
ge
größer gleich
ge(6,4)
true
le
kleiner gleich
le(6,4)
false
gt
größer
gt(6,4)
true
lt
kleiner
lt(6,4)
false
between
prüft ob Parameter1 kleiner als Parameter2 und Parameter2 kleiner als Parameter 3
between(3,4,5)
true
land
logisches UND
land(a<b,b<c)
lor
logisches ODER
lor(a<b,b<c)
not
logisches NICHT
not(a<b)
arithmetische Funktionen
Funktion
Beschreibung
Beispiel
Ergebnis
double
Zahl ein eine Gleitkommazahl umwandeln, die Einheit geht dabei verloren
double(3.4V)
3.4
numeric
verwirft die Einheit, wenn eine vorhanden ist und liefert nur den Zahlenwert
numeric(2.3A)
2.3
cround
Rundet die Zahl kaufmännisch, der zweite Parameter gibt die Anzahl der Kommastellen an, ohne 2.Parameter wird auf Ganzzahlen gerundet
cround(23.535,2)
23.54
round
Rundet die Zahl kaufmännisch, der zweite Parameter gibt die Anzahl der Kommastellen an, ohne 2.Parameter wird auf Ganzzahlen gerundet
round(23.535,2)
23.54
ground
Rundet die Zahl auf die im zweiten Parameter angegebenen gültigen Ziffern
ground(2453.43,2)
2500
floor
Rundet auf die größte ganze Zahl, welche kleiner oder gleich x ist
floor(24.5)
24
trunc
Schneidet die Zahl nach dem Komma ab
trunc(24.5)
24
ceiling
ceiling(x) Rundet auf die kleinste ganze Zahl, welche größer oder gleich x ist
ceiling(13.2)
14
pow
Potenzfunktion
pow(2,3)
8
par
Parallelschaltung von Widerständen
par(x,y)
x*y/(x+y)
min
Minimum von mehrere Werten suchen
min(3,5,1)
1
max
Maximum von mehreren Werten suchen
max(3,5,1)
5
random
Zufallszahl aus einem definierten Zahlenbereich random(minimal,maximal)
random(2,8)
3.4532
randomC
komplexe Zufallszahl aus einem definierten Zahlenbereich für den Betrag
randomC(2,8)
3.4532arg40.3°
sigma
Sprungfunktion: sigma(x) liefert 0 für x<0 und 1 für x>=0
sigma(243.3)
1
Stringfunktionen
Funktion
Beschreibung
Beispiel
Ergebnis
dechex
Zahl in eine Ganzzahl wandeln und als Hexadezimal-String ausgeben
dexhex(12)
"0xC"
chr
Bestimmt die Zeichen mit dem ASC-II-Code der Long-Parameter und setzt daraus einen String zusammen.
chr(0x65,105)
"ei"
val
Bestimmt den ASC-II-Code des ersten Zeichens welches als String-Parameter übergeben wurde.
Erzeugt aus einer komplexen Zahl und einer Frequenz einen Sinusfunktion in der Zeit
csin(U)
cabs(U)*sin(2*pi*f*t+carg(U))
Exponentialfunktionen
Funktion
Beschreibung
Beispiel
Ergebnis
pow
Potenzfunktion
pow(2,3)
8
exp
Exponentialfunktion
exp(1)
%e
log
natürlicher Logarythmus
log(%e)
1
ln
natürlicher Logarythmus
ln(%e)
1
log10
Logarythmus zur Basis 10
log10(100)
2
komplexe Zahlen
Die Funktionen zu komplexen Zahlen werden (anders als in Maxima) nur ausgewertet wenn das Ergebnis numerisch berechenbar ist, ansonsten bleibt die Funktion symbolisch erhalten.
Funktion
Beschreibung
Beispiel
Ergebnis
abs
Liefert den Absolutbetrag einer komplexen Zahl
abs(3+4*%i)
5
cabs
Liefert den Absolutbetrag einer komplexen Zahl
cabs(3+4*%i)
5
carg
Liefert das Argument einer komplexen Zahl
arg(4*%e^(3*%i))
3
realpart
Liefert den Realteil einer komplexen Zahl
abs(3+4*%i)
3
imagpart
Liefert den Imaginärteil einer komplexen Zahl
abs(3+4*%i)
4
conjugate
Liefert die konjugiert komplexe Zahl einer komplexen Zahl
abs(3+4*%i)
3-4*%i
rectform
wandelt die komplexe Zahl in eine Ansicht mit Real- und Imaginärteil
3+4*%i
3+4*%i
Algebra
Funktion
Beschreibung
Beispiel
Ergebnis
matrix
erzeugt aus mehreren gleich langen Vektoren eine Matrix
matrix([1,2],[3,4])
[[1,2],[3,4]]
inv
invertiert eine quadratische Matrix oder bildet 1/x
inv(matrix([1,2],[3,4])
vget
liefert ein Element eines Vektors oder einer Matrix
vget([12,13,14],1)
13
vset
setzt ein Element eines Vektors oder einer Matrix
vset([12,13,14],1,35)
[12,35,14]
vinsert
fügt ein Element in einen Vektor an eine gegebene Stelle ein
vinsert([12,13,14],1,25)
[12,25,13,14]
vremove
löscht ein Element eines Vektors
vremove([12,13,14],1)
[12,14]
Auswertung und Programmierung
Funktion
Beschreibung
Beispiel
Ergebnis
ev
Auswertung eines Ausdruckes, als Parameter können Gleichungen angegeben werden, welche dann in den Ausdruck eingesetzt werden
Bedingungsfunktion wenn(bedingung,wahrwert,falschwert). Im Prinzip identisch wie if, jedoch kann if mit Maxima nicht verwendet werden.
wenn(4<6,10,12)
10
plugin
Ruft die Berechnnugsmethode des Plugins, welches als erster Stringparameter angegeben werden muss auf und übergibt die weiteren Parameter an die Berechnungsmethode des Plugins.
plugin("plugin1",3)
führt die Berechnung des Plugins mit dem Namen "plugin1" mit dem Parameter 3 aus.
symbolic
Bei allen Variablen innerhalb von symbolic werden nur nicht-numerische Werte eingesetzt! Wird vor allem im Angebtext bei {= } verwendet
symbolic(x^2+2)
x^2+2
Optimierung der Ausdrücke
Funktion
Beschreibung
Beispiel
Ergebnis
opt
Ausdruck wird vollständig optimiert, die Funktion wird ausgewertet und ist danach nicht mehr vorhanden
opt(x+x)
2*x
ratsimp
Ausdruck wird vollständig optimiert, die Funktion wird ausgewertet und ist danach nicht mehr vorhanden (wie opt)
ratsimp(x+x)
2*x
noopt
Ausdruck wird nicht optimiert, bleibt also so erhalten wie angegeben. Die Funktion an sich geht aber verlohren.
noopt(2+3)
2+3
lopt
Im Maximafeld bleibt die Funktion ohne Funktion erhalten, im Ergebnis {= wird die Funktion entfernt und in der Lösung wird nach dem Einsetzen der Werte der Ausdruck vollständig optimiert.
lopt(x+3)
lopt(x+3)
lnoopt
Im Maximafeld bleibt die Funktion ohne Funktion erhalten, im Ergebnis {= wird die Funktion entfernt und in der Lösung wird nach dem Einsetzen der Werte der Ausdruck nicht mehr optimiert.
lnoopt(x+3+2)
lnoopt(x+5)
loptnumeric
Im Maximafeld bleibt die Funktion ohne Funktion erhalten, im Ergebnis {= wird die Funktion entfernt und in der Lösung wird nach dem Einsetzen der Werte der Ausdruck nur numerisch optimiert.
loptnumeric(x+y)
loptnumeric(x+y)
aopt
Bei Maxima und Lösung geht die Funktion verloren, nur innerhalb von noopt bleibt sie erhalten. Bei der Anzeige führt sie zur Optimierung das Ausdruckes nach Einsetzen der Datensätze.
aopt(x)
x
Anzeige und Lösungsberechnung
Diese Funktionen haben entweder einen oder zwei Parameter. Der erste Parameter stellt die darzustellende Funktion dar, der zweite Parameter, welcher eine Ganzzahl sein muss, gibt an, wie die Darstellung erfolgen soll. Wird der 2.Parameter weggelassen, so wird er als 0 interpretiert.
0 Bei Berechnungen hat die Funktion keine Wirkung, bleibt aber als Funktion erhalten. Bei Lösung und Anzeige wird die Funktion ausgewertet
1 Wirkt nur bei Lösung, bei Berechnungen bleibt die Funktion erhalten
2 Wirkt nur bei Anzeige, bei Berechnungen bleibt die Funktion erhalten
Funktion
Beschreibung
Beispiel
Ergebnis
viewpow
Gibt alle Wurzeln als Potenzen aus, und stellt alle Potenzen im Nenner als negativen Exponenten im Zähler dar
viewpow(sqrt(x))
x^(1/2)
viewsqrt
Gibt Potenzen welche als Wurzel darstellbar sind auch als als Wurzeln mit der Funktion sqrt oder root aus
viewsqrt(x^(1/2))
sqrt(x)
Spezialfunktionen Technik
Funktion
Beschreibung
Beispiel
Ergebnis
color
Widerstandsfarbcode berechnen. 1. Parameter muss ein Double sein 2.Parameter sind die Anzahl der Farbringe 3.Parameter ist der Modus (0..2-St,1..3St,2..Deutsch,3..2StEng,4..3StEng,5..Englisch
color(120,3,2)
braun,rot,braun
parsecolor
Wandelt einen String mit einem Widerstandsfarbcode in einen Double-Wert
parsecolor("br-rt-br")
120
ip
Wandelt eine Long-Zahl in einen String als IP-Adresse um, oder 4 Byte-Zahlen in eine Long Zahl als IP-32-bit-Adresse
ip(1534536453) ip(10,20,30,40)
"91.119.43.5" 169090600
parseip
Wandelt einen String mit einer IP-Adresse in einen Long-Wert
parseip("91.119.43.5")
1534536453
e12
rundet einen Zahlenwert auf den nächstliegenden Wert der Normreihe E12. Die Rundung erfolgt geometrisch d.h. der Quotient zwischen Normwert und zu rundendem Wert wird minimiert.
e12(700Ohm)
680Ohm
e12up
rundet einen Zahlenwert auf den nächstgrößerern Wert der Normreihe E12
e12(670Ohm)
680Ohm
e12down
rundet einen Zahlenwert auf den nächstkleineren Wert der Normreihe E12
e12(700Ohm)
680Ohm
ise12
prüft ob der als Parameter übergebenen Wert ein Wert der Normreihe E12 ist.
ise12(680Ohm)
true
norm
rundet einen Zahlenwert auf den nächstliegenden Wert einer gegebenen Wertereihe oder Normreihe. Die Rundung erfolgt geometrisch wenn es sich um eine logarithmisch aufgeteilte Normreihe handelt, oder sonst linear.
norm(700Ohm,E12)
680Ohm
normup
rundet einen Zahlenwert auf den nächstgrößerern Wert einer gegebenen Wertereihe oder Normreihe.
normup(730Ohm,[1,3,5,8])
800Ohm
normdown
rundet einen Zahlenwert auf den nächstkleineren Wert einer gegebenen Wertereihe oder Normreihe.
normdown(700Ohm,E12)
680Ohm
isnorm
prüft ob der als Parameter übergebenen Wert ein Wert einer gegebenen Wertereihe oder Normreihe ist.
isnorm(680Ohm,E12)
true
Ergebnisvorschau
Aufruf dieses Dialoges über den -Button aus dem Toolbar.
Die Berechnungen aus dem Maxima-Feld bei der Fragendefinition können auch über den -Button durchgeführt werden. Hier wird die Berechnung durchgeführt und das Lösungsfeld ausgefüllt, aber der Rechengang wird nicht angezeigt.
Beim Fehlersuchen oder bei komplexen Berechnungen kann es aber hilfreich sein, den ganzen Maxima-Lösungsweg zu sehen, dies ist über den -Button möchlich.
-Button aus dem Toolbar.
-Button durchgeführt werden. Hier wird die Berechnung durchgeführt und das Lösungsfeld ausgefüllt, aber der Rechengang wird nicht angezeigt.
