Berechnungen
Allgemeines
Berechnungen werden in mehreren Bereichen der Frageerstellung verwendet und bilden die Basis für Berechnungsfrage und Mehrfachberechnungsfrage.
Alle Berechnungen unterstützen Einheiten und symbolische Auswertung.
Grundsätzlicher Aufbau der Ergebnis-Berechnung einer berechnenden Frage
Die Berechnung und die Beurteilung einer Frage teilt sich in 3 grundsätzliche Schritte:
- Berechnnug der Lösung aus den Maxima-Feldern
- Berechnung des Ergebnisses durch Einsetzen der Datensätze
- Beurteilung der Schülereingabe durch Vergleich mit dem Ergebnis
Konstante
Alle Konstante welche in Letto definiert sind beginnen mit einem Prozentzeichen. Verwendet man den Variablennamen ohne Prozenzzeichen, so wird die Konstante wie eine Variable mit dem Wert der Konstanten verwendet.
Liste der definierten Konstanten:
| Name | Wert | Beschreibung |
| %i | i | komplexer Parameter als Lösung der Gleichung x^2=-1 |
| %j | i | komplexer Parameter als Lösung der Gleichung x^2=-1 |
| %e | 2.718281828459045 | Eulersche Zahl |
| %pi | 3.141592653589793 | Kreiszahl |
| %mu0 | magnetische Feldkonstante | 4*%pi*1E-7'Vs/Am' |
| %m0 | magnetische Feldkonstante (alt, wird bald entfernt werden) | 4*%pi*1E-7'Vs/Am' |
| %epsilon0 | elektrische Feldkonstante | 8.85418781762039E-12'As/Vm' |
| %e0 | elektrische Feldkonstante (alt, wird bald entfernt werden) | 8.85418781762039E-12'As/Vm' |
| %c0 | Lichtgeschwindigkeit | 299792458'm/s' |
| %Qe | Elementarladung | 1.602176620898E-19As |
| %g | Erdbeschleunigung | 9.81'm/s^2' |
| %NA | Avogadro Konstante | 6.02214085774E23/mol |
| %k | Stefan Bolzman Konstante | 1.3806485279E-23'J/K' |
| %R0 | Universelle Gaskonstante | 8.314459848'J/Kmol' |
| %h | planksches Wirkungsquantum | 6.6260704081E-34Js |
Berechnung mit Maxima
- Maxima wird nur für symbolische Berechnungen bei der Erstellung von Beispielen verwendet. Hierbei wird, wie schon oberhalb im Schema angegeben, zuerst die Moodle.mac geladen, dann das Maxima-Feld berechnet und anschließend die Maxima-Felder aller Teilfragen. Das Ergebnis der Berechnung wird dann als symbolischer Ausdruck im Lösungfeld eingetragen.
- Da zum Zeitpunkt der Maxima-Berechnung keine Datensätze vorhanden sind, kann keine numerische Berechnung in Maxima durchgeführt werden, welche die Datensätze benötigt. Dies muss der interne Parser zum Zeitpunkt des Online-Test-Laufes erledigen. Numerische Berechnungen, welche der interne Parser nicht kann können deshalb auch nicht mit Maxima berechnet werden.
- Da das Lösungsfeld, welches mit Maxima berechnet wird symbolisch ausgewertet wird, können in Maxima sämtliche symbolischen Berechnungsverfahren angewendet werden, welche ein symbolisches Ergebnis liefern und keine numerischen Werte der Datensätze benötigen.
Berechnung mit dem internen Parser
- Der interne Parser kann durch Wahl der Checkbox "Parser" anstatt von Maxima für die Berechnung des Maxima-Feldes verwendet werden.
- Jedenfalls wird der Parser zur Test-Laufzeit für die Berechnung des Ergebnisses einer Frage aus Lösung und Datensätzen und zum Berechnen der Schülereingabe verwendet.
Operatoren
VORSICHT: Einige Operatoren sind in Maxima anders, oder nicht definiert. Möchte man im Maximafeld die Operatoren des Parsers-verwenden, so muss das gesamte Maxima-Feld mit dem Parser gerechnet werden. Man verliert dadurch jedoch die Vorteile der Maxima-Berechnung.
Alternativ kann man statt der Operatoren auch Funktionen (zB: ne() statt != ) verwenden. Diese werden dann von Maxima zwar nicht ausgewertet, die Berechnung bleibt aber trotzdem korrekt und kann mit Maxima durchgeführt werden.
Infix Operatoren
arithmetische Operatoren
| Operator | Priorität | Beschreibung | Beispiel | Ergebnis |
| + | 40 | Addition | 4+5 | 9 |
| - | 40 | Subtraktion | 6-2 | 4 |
| * | 50 | Multiplikation | 4*5 | 20 |
| / | 51 | Division | 20/4 | 5 |
| % | 51 | Divisionsrest | 104%20 | 4 |
| / / | 60 | Parallelschaltung | x / / y | x*y/(x+y) |
| ^ | 90 | Potenz | 2^3 | 8 |
| .*. | 200 | Operator der intern für eine fehlende bindende Multiplikation verwendet wird | 4x | 4*x |
Bitoperatoren
| Operator | Priorität | Beschreibung | Beispiel | Ergebnis |
| 20 | Bitweise ODER | 5 | 13 | |
| or | 20 | Bitweise ODER | 9 or 5 | 13 |
| & | 21 | Bitweise UND | 13&10 | 8 |
| and | 21 | Bitweise UND | 13 and 10 | 8 |
| xor | 22 | Bitweise exklusiv oder XOR | 13 xor 10 | 7 |
| imp | 23 | Bitweise impliziert IMP | 13 imp 10 | 8 |
| << | 35 | Bitweise links schieben | 5<<2 | 20 |
| >> | 35 | Bitweise rechts schieben | 8>>2 | 2 |
Vergleichsoperatoren
| Operator | Priorität | Beschreibung | Beispiel |
| = | 3 | Gleichungsoperator | x=y |
| == | 30 | Gleichungsoperator | x==y |
| != | 30 | Ungleichungsoperator | x!=y |
| < | 32 | Kleiner | x<y |
| <= | 32 | Kleiner gleich | x<=y |
| > | 32 | größer | x>y |
| >= | 32 | größer gleich | x>=y |
Organisative Operatoren
| Operator | Priorität | Beschreibung | Beispiel | Ergebnis |
| , | 0 | Listen-Trennzeichen | x,y | |
| $ | 1 | Trennzeichen zwischen mehreren Berechnungen | ||
| ; | 1 | Trennzeichen zwischen mehreren Berechnungen | ||
| : | 2 | Zuweisung an eine Variablen auf der linken Seite | x:5 |
Prefix Operatoren
| Operator | Priorität | Beschreibung | Beispiel | Ergebnis |
| + | 45 | positives Vorzeichen | +5 | 5 |
| - | 45 | negatives Vorzeichen | -(-5) | 5 |
| ~ | 95 | bitweise Inversion einer 64bit-Ganzzahl | ~0x0F0F | 0xFFFFFFFFFFFFF0F0 |
| ! | 120 | logisches NOT | !(3<4) | false |
| ++ | 130 | Inkrement von Ganzzahlen | ++x | erhöht x um eins und gibt das Ergebnis nach der Erhöhung zurück |
| -- | 130 | Dekrement von Ganzzahlen | --x | vermindert x um eins und gibt das Ergebnis nach der Verminderung zurück |
| % | 200 | Prefix für Namen, welche als Konstante definiert sind | %pi | 3.141592653589793 |
Suffix Operatoren
| Operator | Priorität | Beschreibung | Beispiel | Ergebnis |
| ++ | 135 | Inkrement von Ganzzahlen | x++ | erhöht x um eins und gibt den Variablenwert vor der Erhöhung zurück |
| -- | 135 | Dekrement von Ganzzahlen | x-- | vermindert x um eins und gibt den Variablenwert vor der Verminderung zurück |
Klammern
- () runde Klammern werden für mathematische Ausdrücke zur Klammerung verwendet
- {} geschwungene Klammer werden im Angabetext für die Namen der Datensätze verwendet
- [] eckige Klammern werden für Vektoren und Matrizen verwendet
Funktionen
Funktionen für Ganzzahlen
| Funktion | Beschreibung | Beispiel | Ergebnis |
| band | bitweises UND | band(4,12) | 4 |
| bor | bitweises ODER | bor(4,1) | 5 |
| bxor | bitweises EXKLUSIV ODER | band(4,5) | 1 |
| bimp | bitweises Parameter1 impliziert Parameter2 | bimp(13,10) | 8 |
| binv | bitweises NICHT mit 8 bit | binv(0x0F) | 0xF0 |
| shl | Schiebe Ganzzahl bitweise nach links | shl(8,2) | 32 |
| shr | Schiebe Ganzzahl bitweise nach rechts | shr(8,2) | 2 |
| div | Ganzzahldivision, Ergebnis wird abgeschnitten | div(5,2) | 2 |
| mod | Modulo: Divisionsrest einer Ganzzahldivision | mod(5,2) | 1 |
| inv8 | bitweise Invertieren und die letzten 8 Bit bestimmen | inv8(0b1001) | 0b11110110 |
| inv16 | bitweise Invertieren und die letzten 16 Bit bestimmen | inv16(0xF0) | 0xFF0F |
| inv32 | bitweise Invertieren und die letzten 32 Bit bestimmen | inv32(0xF0) | 0bFFFFFF0F |
| inv64 | bitweise Invertieren und die letzten 64 Bit bestimmen | inv64(0xF0) | 0bFFFFFFFFFFFFFF0F |
| byte | Zahl in eine Ganzzahl wandeln und die letzten 8bit der Zahl Abschneiden, Einheit geht verloren | byte(34.2) | 34 |
| word | Zahl in eine Ganzzahl wandeln und die letzten 16bit der Zahl Abschneiden, Einheit geht verloren | word(34.2) | 34 |
| int | Zahl in eine Ganzzahl wandeln und die letzten 32bit der Zahl Abschneiden, Einheit geht verloren | int(34.2) | 34 |
| long | Zahl in eine Ganzzahl wandeln , Einheit geht verloren | long(34.2) | 34 |
| parity | Paritätsberechnung : parity(Parität,Codewortlänge,Datenwort[,Datenwort,....]) | parity(even,7,"xy") | |
| blockparity | Kreuz oder Blockparität : blockparity(Parität,Codewortlänge,Codewortanzahl,Datenwort[,Datenwort,....]) | blockparity(even,7,3,"abc") | |
| bcd | Wandelt in eine Long-Zahl in ein Feld aus BCD-kodierten Zahlen um | bcd(124) | [1,2,4] |
| code | Code aus mehreren Codeworten zusammensetzen : code(Codewortlänge,Datenwort[,Datenwort,....]) | code(5,4,3,5) | 0b1000001100101 |
| hamming | Bestimmt den Hamming-Abstand von mehreren Codeworten | hamming(1,2,4,8,16) | 2 |
| komplement | Bildet das Zweierkomplement mit einer negativen Zahl mit einer bestimmten Bitanzahl, fehlt die Bitanzahl, so wird ein 32Bit-2er-komplement gebildet | komplement(-5,8) | 0b11111011 |
| bitstream | Erzeugt aus einer Ganzzahl einen Bitstrom als String mit einer definierten Anzahl von Bit (MSB werden nötigenfalls mit 0 gefüllt) : bitstream(Daten,Bitanzahl) | bitstream(0x184,12) | "000110000100" |
boolsche Funktionen
| Funktion | Beschreibung | Beispiel | Ergebnis |
| eq | gleich | ge(4,4) | true |
| ne | ungleich | ne(6,4) | true |
| ge | größer gleich | ge(6,4) | true |
| le | kleiner gleich | le(6,4) | false |
| gt | größer | gt(6,4) | true |
| lt | kleiner | lt(6,4) | false |
| between | prüft ob Parameter1 kleiner als Parameter2 und Parameter2 kleiner als Parameter 3 | between(3,4,5) | true |
| land | logisches UND | land(a<b,b<c) | |
| lor | logisches ODER | lor(a<b,b<c) | |
| not | logisches NICHT | not(a<b) |
arithmetische Funktionen
| Funktion | Beschreibung | Beispiel | Ergebnis |
| double | Zahl ein eine Gleitkommazahl umwandeln, die Einheit geht dabei verloren | double(3.4V) | 3.4 |
| numeric | verwirft die Einheit, wenn eine vorhanden ist und liefert nur den Zahlenwert | numeric(2.3A) | 2.3 |
| cround | Rundet die Zahl kaufmännisch, der zweite Parameter gibt die Anzahl der Kommastellen an, ohne 2.Parameter wird auf Ganzzahlen gerundet | cround(23.535,2) | 23.54 |
| round | Rundet die Zahl kaufmännisch, der zweite Parameter gibt die Anzahl der Kommastellen an, ohne 2.Parameter wird auf Ganzzahlen gerundet | round(23.535,2) | 23.54 |
| ground | Rundet die Zahl auf die im zweiten Parameter angegebenen gültigen Ziffern | ground(2453.43,2) | 2500 |
| floor | Rundet auf die größte ganze Zahl, welche kleiner oder gleich x ist | floor(24.5) | 24 |
| trunc | Schneidet die Zahl nach dem Komma ab | trunc(24.5) | 24 |
| ceiling | ceiling(x) Rundet auf die kleinste ganze Zahl, welche größer oder gleich x ist | ceiling(13.2) | 14 |
| pow | Potenzfunktion | pow(2,3) | 8 |
| par | Parallelschaltung von Widerständen | par(x,y) | x*y/(x+y) |
| min | Minimum von mehrere Werten suchen | min(3,5,1) | 1 |
| max | Maximum von mehreren Werten suchen | max(3,5,1) | 5 |
| random | Zufallszahl aus einem definierten Zahlenbereich random(minimal,maximal) | random(2,8) | 3.4532 |
| randomC | komplexe Zufallszahl aus einem definierten Zahlenbereich für den Betrag | randomC(2,8) | 3.4532arg40.3° |
| sigma | Sprungfunktion: sigma(x) liefert 0 für x<0 und 1 für x>=0 | sigma(243.3) | 1 |
Stringfunktionen
| Funktion | Beschreibung | Beispiel | Ergebnis |
| dechex | Zahl in eine Ganzzahl wandeln und als Hexadezimal-String ausgeben | dexhex(12) | "0xC" |
| chr | Bestimmt die Zeichen mit dem ASC-II-Code der Long-Parameter und setzt daraus einen String zusammen. | chr(0x65,105) | "ei" |
| val | Bestimmt den ASC-II-Code des ersten Zeichens welches als String-Parameter übergeben wurde. | val("a") | 97 |
trigonometrische Funktionen
| Funktion | Beschreibung | Beispiel | Ergebnis |
| sin | Sinus | sin(%pi/2) | 1 |
| cos | Cosinus | cos(%pi/2) | 0 |
| tan | Tangends | tan(%pi/4) | 1 |
| asin | Arcus-Sinus | asin(1) | %pi/2 |
| acos | Arcus-Cosinus | acos(1) | 0 |
| atan | Arcus-Tangends | atan(1) | %pi/4 |
| arctan | Arcus-Tangends | arctan(1) | %pi/4 |
| atan2 | Arcus-Tangends atan2(x,y)=arctan(y/x) | atan2(-2,-2) | -%pi*3/4 |
| arctan2 | Arcus-Tangends arctan2(x,y)=arctan(y/x) | arctan2(-2,-2) | -%pi*3/4 |
Exponentialfunktionen
| Funktion | Beschreibung | Beispiel | Ergebnis |
| pow | Potenzfunktion | pow(2,3) | 8 |
| exp | Exponentialfunktion | exp(1) | %e |
| log | natürlicher Logarythmus | log(%e) | 1 |
| ln | natürlicher Logarythmus | ln(%e) | 1 |
| log10 | Logarythmus zur Basis 10 | log10(100) | 2 |
komplexe Zahlen
Die Funktionen zu komplexen Zahlen werden (anders als in Maxima) nur ausgewertet wenn das Ergebnis numerisch berechenbar ist, ansonsten bleibt die Funktion symbolisch erhalten.
| Funktion | Beschreibung | Beispiel | Ergebnis |
| abs | Liefert den Absolutbetrag einer komplexen Zahl | abs(3+4*%i) | 5 |
| cabs | Liefert den Absolutbetrag einer komplexen Zahl | cabs(3+4*%i) | 5 |
| carg | Liefert das Argument einer komplexen Zahl | arg(4*%e^(3*%i)) | 3 |
| realpart | Liefert den Realteil einer komplexen Zahl | abs(3+4*%i) | 3 |
| imagpart | Liefert den Imaginärteil einer komplexen Zahl | abs(3+4*%i) | 4 |
| conjugate | Liefert die konjugiert komplexe Zahl einer komplexen Zahl | abs(3+4*%i) | 3-4*%i |
| rectform | wandelt die komplexe Zahl in eine Ansicht mit Real- und Imaginärteil | 3+4*%i | 3+4*%i |
Algebra
| Funktion | Beschreibung | Beispiel | Ergebnis |
| matrix | erzeugt aus mehreren gleich langen Vektoren eine Matrix | matrix([1,2],[3,4]) | [[1,2],[3,4]] |
| inv | invertiert eine quadratische Matrix oder bildet 1/x | inv(matrix([1,2],[3,4]) | |
| vget | liefert ein Element eines Vektors oder einer Matrix | vget([12,13,14],1) | 13 |
| vset | setzt ein Element eines Vektors oder einer Matrix | vset([12,13,14],1,35) | [12,35,14] |
| vinsert | fügt ein Element in einen Vektor an eine gegebene Stelle ein | vinsert([12,13,14],1,25) | [12,25,13,14] |
| vremove | löscht ein Element eines Vektors | vremove([12,13,14],1) | [12,14] |
Auswertung und Programmierung
| Funktion | Beschreibung | Beispiel | Ergebnis |
| ev | Auswertung eines Ausdruckes, als Parameter können Gleichungen angegeben werden, welche dann in den Ausdruck eingesetzt werden | ev(x*y,y=4) | x*4 |
| if | Bedingungsfunktion if(bedingung,wahrwert,falschwert) | if(4<6,10,12) | 10 |
| wenn | Bedingungsfunktion wenn(bedingung,wahrwert,falschwert). Im Prinzip identisch wie if, jedoch kann if mit Maxima nicht verwendet werden. | wenn(4<6,10,12) | 10 |
| plugin | Ruft die Berechnnugsmethode des Plugins, welches als erster Stringparameter angegeben werden muss auf und übergibt die weiteren Parameter an die Berechnungsmethode des Plugins. | plugin("plugin1",3) | führt die Berechnung des Plugins mit dem Namen "plugin1" mit dem Parameter 3 aus. |
| symbolic | Bei allen Variablen innerhalb von symbolic werden nur nicht-numerische Werte eingesetzt! Wird vor allem im Angebtext bei {= } verwendet | symbolic(x^2+2) | x^2+2 |
Optimierung der Ausdrücke
| Funktion | Beschreibung | Beispiel | Ergebnis |
| opt | Ausdruck wird vollständig optimiert, die Funktion wird ausgewertet und ist danach nicht mehr vorhanden | opt(x+x) | 2*x |
| ratsimp | Ausdruck wird vollständig optimiert, die Funktion wird ausgewertet und ist danach nicht mehr vorhanden (wie opt) | ratsimp(x+x) | 2*x |
| noopt | Ausdruck wird nicht optimiert, bleibt also so erhalten wie angegeben. Die Funktion an sich geht aber verlohren. | noopt(2+3) | 2+3 |
| lopt | Im Maximafeld bleibt die Funktion ohne Funktion erhalten, im Ergebnis {= wird die Funktion entfernt und in der Lösung wird nach dem Einsetzen der Werte der Ausdruck vollständig optimiert. | lopt(x+3) | lopt(x+3) |
| lnoopt | Im Maximafeld bleibt die Funktion ohne Funktion erhalten, im Ergebnis {= wird die Funktion entfernt und in der Lösung wird nach dem Einsetzen der Werte der Ausdruck nicht mehr optimiert. | lnoopt(x+3+2) | lnoopt(x+5) |
| loptnumeric | Im Maximafeld bleibt die Funktion ohne Funktion erhalten, im Ergebnis {= wird die Funktion entfernt und in der Lösung wird nach dem Einsetzen der Werte der Ausdruck nur numerisch optimiert. | loptnumeric(x+y) | loptnumeric(x+y) |
| aopt | Bei Maxima und Lösung geht die Funktion verloren, nur innerhalb von noopt bleibt sie erhalten. Bei der Anzeige führt sie zur Optimierung das Ausdruckes nach Einsetzen der Datensätze. | aopt(x) | x |
Anzeige und Lösungsberechnung
Diese Funktionen haben entweder einen oder zwei Parameter. Der erste Parameter stellt die darzustellende Funktion dar, der zweite Parameter, welcher eine Ganzzahl sein muss, gibt an, wie die Darstellung erfolgen soll. Wird der 2.Parameter weggelassen, so wird er als 0 interpretiert.
- 0 Bei Berechnungen hat die Funktion keine Wirkung, bleibt aber als Funktion erhalten. Bei Lösung und Anzeige wird die Funktion ausgewertet
- 1 Wirkt nur bei Lösung, bei Berechnungen bleibt die Funktion erhalten
- 2 Wirkt nur bei Anzeige, bei Berechnungen bleibt die Funktion erhalten
| Funktion | Beschreibung | Beispiel | Ergebnis |
| viewpow | Gibt alle Wurzeln als Potenzen aus, und stellt alle Potenzen im Nenner als negativen Exponenten im Zähler dar | viewpow(sqrt(x)) | x^(1/2) |
| viewsqrt | Gibt Potenzen welche als Wurzel darstellbar sind auch als als Wurzeln mit der Funktion sqrt oder root aus | viewsqrt(x^(1/2)) | sqrt(x) |
Spezialfunktionen Technik
| Funktion | Beschreibung | Beispiel | Ergebnis |
| color | Widerstandsfarbcode berechnen. 1. Parameter muss ein Double sein 2.Parameter sind die Anzahl der Farbringe 3.Parameter ist der Modus (0..2-St,1..3St,2..Deutsch,3..2StEng,4..3StEng,5..Englisch |
color(120,3,2) | braun,rot,braun |
| parsecolor | Wandelt einen String mit einem Widerstandsfarbcode in einen Double-Wert | parsecolor("br-rt-br") | 120 |
| ip | Wandelt eine Long-Zahl in einen String als IP-Adresse um, oder 4 Byte-Zahlen in eine Long Zahl als IP-32-bit-Adresse | ip(1534536453) ip(10,20,30,40) |
"91.119.43.5" 169090600 |
| parseip | Wandelt einen String mit einer IP-Adresse in einen Long-Wert | parseip("91.119.43.5") | 1534536453 |
| e12 | rundet einen Zahlenwert auf den nächstliegenden Wert der Normreihe E12. Die Rundung erfolgt geometrisch d.h. der Quotient zwischen Normwert und zu rundendem Wert wird minimiert. |
e12(700Ohm) | 680Ohm |
| e12up | rundet einen Zahlenwert auf den nächstgrößerern Wert der Normreihe E12 | e12(670Ohm) | 680Ohm |
| e12down | rundet einen Zahlenwert auf den nächstkleineren Wert der Normreihe E12 | e12(700Ohm) | 680Ohm |
| ise12 | prüft ob der als Parameter übergebenen Wert ein Wert der Normreihe E12 ist. | ise12(680Ohm) | true |
| norm | rundet einen Zahlenwert auf den nächstliegenden Wert einer gegebenen Wertereihe oder Normreihe. Die Rundung erfolgt geometrisch wenn es sich um eine logarithmisch aufgeteilte Normreihe handelt, oder sonst linear. |
norm(700Ohm,E12) | 680Ohm |
| normup | rundet einen Zahlenwert auf den nächstgrößerern Wert einer gegebenen Wertereihe oder Normreihe. | normup(730Ohm,[1,3,5,8]) | 800Ohm |
| normdown | rundet einen Zahlenwert auf den nächstkleineren Wert einer gegebenen Wertereihe oder Normreihe. | normdown(700Ohm,E12) | 680Ohm |
| isnorm | prüft ob der als Parameter übergebenen Wert ein Wert einer gegebenen Wertereihe oder Normreihe ist. | isnorm(680Ohm,E12) | true |
Ergebnisvorschau
Aufruf dieses Dialoges über den 
-Button aus dem Toolbar.
Die Berechnungen aus dem Maxima-Feld bei der Fragendefinition können auch über den 
-Button durchgeführt werden. Hier wird die Berechnung durchgeführt und das Lösungsfeld ausgefüllt, aber der Rechengang wird nicht angezeigt.
Beim Fehlersuchen oder bei komplexen Berechnungen kann es aber hilfreich sein, den ganzen Maxima-Lösungsweg zu sehen, dies ist über den -Button möchlich.