Berechnungen

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Allgemeines

Berechnungen werden in mehreren Bereichen der Frageerstellung verwendet und bilden die Basis für Berechnungsfrage und Mehrfachberechnungsfrage.

Alle Berechnungen unterstützen Einheiten und symbolische Auswertung.

Grundsätzlicher Aufbau der Ergebnis-Berechnung bei Fragen mit Berechnungen

Schema der Berechnung

Die Berechnung und die Beurteilung einer Frage teilt sich in 3 grundsätzliche Schritte:

  • Berechnnug der geschlossenen Lösung (Formel) aus den Maxima-Feldern
  • Berechnung des Ergebnisses einer Frage durch Einsetzen der Zahlenwerte aus den Datensätzen in die geschlossene Lösung
  • Beurteilung der Schülereingabe durch Vergleich mit dem Ergebnis

Konstante

Alle Konstante welche in Letto definiert sind beginnen mit einem Prozentzeichen. Verwendet man den Variablennamen ohne Prozenzzeichen, so wird die Konstante wie eine Variable mit dem Wert der Konstanten verwendet.

Liste der definierten Konstanten:

Name Wert Beschreibung
%i i komplexer Parameter als Lösung der Gleichung x^2=-1
%j i komplexer Parameter als Lösung der Gleichung x^2=-1
Wichtig: Wir nur vom Parser unterstützt, nicht von Maxima
%e 2.718281828459045 Eulersche Zahl
%pi 3.141592653589793 Kreiszahl
%mu0 magnetische Feldkonstante 4*%pi*1E-7'Vs/Am'
%m0 magnetische Feldkonstante (alt, wird bald entfernt werden) 4*%pi*1E-7'Vs/Am'
%epsilon0 elektrische Feldkonstante 8.85418781762039E-12'As/Vm'
%e0 elektrische Feldkonstante (alt, wird bald entfernt werden) 8.85418781762039E-12'As/Vm'
%c0 Lichtgeschwindigkeit 299792458'm/s'
%Qe Elementarladung 1.602176620898E-19As
%g Erdbeschleunigung 9.81'm/s^2'
%NA Avogadro Konstante 6.02214085774E23/mol
%k Stefan Bolzman Konstante 1.3806485279E-23'J/K'
%R0 Universelle Gaskonstante 8.314459848'J/Kmol'
%h planksches Wirkungsquantum 6.6260704081E-34Js

Berechnung mit Maxima

  • Maxima wird nur für symbolische Berechnungen bei der Erstellung von Beispielen verwendet. Hierbei wird, wie schon oberhalb im Schema angegeben, zuerst die Moodle.mac geladen, dann das Maxima-Feld berechnet und anschließend die Maxima-Felder aller Teilfragen. Das Ergebnis der Berechnung wird dann als symbolischer Ausdruck im Lösungfeld eingetragen.
  • Da zum Zeitpunkt der Maxima-Berechnung keine Datensätze vorhanden sind, kann keine numerische Berechnung in Maxima durchgeführt werden, welche die Datensätze benötigt. Dies muss der interne Parser zum Zeitpunkt des Online-Test-Laufes erledigen. Numerische Berechnungen, welche der interne Parser nicht kann können deshalb auch nicht mit Maxima berechnet werden.
  • Da das Lösungsfeld, welches mit Maxima berechnet wird symbolisch ausgewertet wird, können in Maxima sämtliche symbolischen Berechnungsverfahren angewendet werden, welche ein symbolisches Ergebnis liefern und keine numerischen Werte der Datensätze benötigen.
  • Reicht im Maximafeld die Zeilenlänge nicht aus ist es möglich einen defninierten Zeilenumbruch zu realisieren. Schreiben Sie dazu "\" (einfacher Backslash) am Ende der Zeile.
  • Funktionsdeklarationen wie f(x):=x^2 mit Doppelpunkt-Ist-Gleich sind im Maxima-Feld nur eingeschränkt bis gar nicht verwendbar, da sie vom Parser nicht unterstützt werden.
  • Mengen von Maxima sind in LeTTo nicht verwendbar. LeTTo verwender hierzu eigene Funktionen des Parsers welche mit "set" beginnen und auf Vektoren basieren.

Berechnungen mit "Vorberechnung" und Maxima (Parser nicht angehakt)

  • Es werden die Datensätze ohne Einheiten vor der Durchrechnung des Maxima-Feldes an Maxima gesendet
  • Im Maxima-Feld werden durch den Preprozessor alle Einheiten von allen konstanten Werten entfernt
  • Die Ergebnisse nach der Maxima-Durchrechnung sind somit alle ohne Einheit
  • Der Postpozesser fügt an alle Ergebnisse der Maxima-Berechnung die definierten Einheiten an

Einheitendfinition für den Postprozessor (nur bei Berechnung mit Vorberechnung ohne Parser wirksam!)

  • Definition einer Einheit mit der Funktion unit in einem Kommentar
  • Setzen der Einheit Volt (V) für alle Variablen die mit U beginnen
 //unit(U*)=V
  • Setzen der Einheit Ampere(A) für alle Variablen die mit I oder ix beginnen
 //unit(I*,ix*)=A

Berechnung mit dem internen Parser

  • Der interne Parser kann durch Wahl der Checkbox "Parser" anstatt von Maxima für die Berechnung des Maxima-Feldes verwendet werden.
  • Jedenfalls wird der Parser zur Test-Laufzeit für die Berechnung des Ergebnisses einer Frage aus Lösung und Datensätzen und zum Berechnen der Schülereingabe verwendet.

Operatoren

VORSICHT mit MAXIMA

  • Einige Operatoren sind in Maxima anders, oder nicht definiert. Möchte man im Maximafeld die Operatoren des Parsers-verwenden, so muss das gesamte Maxima-Feld mit dem Parser gerechnet werden. Man verliert dadurch jedoch die Vorteile der Maxima-Berechnung.
  • Alternativ kann man statt der Operatoren auch Funktionen verwenden (zB: ne() statt != ). Diese werden dann von Maxima zwar nicht ausgewertet, die Berechnung bleibt aber trotzdem korrekt und kann mit Maxima durchgeführt werden.
  • Es gibt einige Funktionen welche in Maxima existieren aber im Parser nicht, oder mit anderem Syntax.
    • Wenn diese von Maxima nicht ausgewertet werden können, da sie Datensätze enthalten welche zu Auswertezeitpunkt von Maxima noch nicht mit Werten belegt sind, dürfen sie in der Berechnung nicht verwendet werden, da der Parser dann damit nichts anfangen kann.
    • Solche Funktionen haben entweder im Parser eine alternative Schreibweise welche auch mit Maxima verwendet werden kann (z.B.: wenn), oder sie können prinzipell nicht verwendet werden. (Für wichtige Funktionsweisen könnte man in zukünftigen Versionen neue Funktionalitäten in den Parser einbauen, die die gewünschte Funktion erfüllen)
    • Ein weiter Möglichkeit für die Verwendung solcher Funktionen ist der Verzicht auf Datensätze in diesen Funktionen, damit diese Funktion beim Auswerten des Maxima-Feldes bereits ausgewertet werden kann und somit der Parser davon nichts mehr sieht.
    • zB:
if then

Infix Operatoren

arithmetische Operatoren

Operator Priorität Beschreibung Beispiel Ergebnis
+ 40 Addition 4+5 9
- 40 Subtraktion 6-2 4
* 50 Multiplikation 4*5 20
/ 51 Division 20/4 5
% 51 Divisionsrest 104%20 4
| | 60 Parallelschaltung x | | y x*y/(x+y)
^ 90 Potenz 2^3 8
.*. 200 Operator der intern für eine fehlende bindende Multiplikation verwendet wird 4x 4*x

Bitoperatoren

Operator Priorität Beschreibung Beispiel Ergebnis
| 20 Bitweise oder logisches ODER 9|5
true|false
13
true
or 20 Bitweise oder logisches ODER 9 or 5 13
& 21 Bitweise oder logisches UND 13&10 8
and 21 Bitweise oder logisches UND 13 and 10 8
xor 22 Bitweise oder logisches exklusiv oder XOR 13 xor 10 7
imp 23 Bitweise oder logisches impliziert IMP 13 imp 10 8
<< 35 Bitweise links schieben 5<<2 20
>> 35 Bitweise rechts schieben 8>>2 2

Vergleichsoperatoren

Operator Priorität Beschreibung Beispiel
= 3 Gleichungsoperator x=y
== 30 Gleichungsoperator x==y
!= 30 Ungleichungsoperator x!=y
< 32 Kleiner x<y
<= 32 Kleiner gleich x<=y
> 32 größer x>y
>= 32 größer gleich x>=y

Organisative Operatoren

Operator Priorität Beschreibung Beispiel Ergebnis
, 0 Listen-Trennzeichen x,y
$ 1 Trennzeichen zwischen mehreren Berechnungen
; 1 Trennzeichen zwischen mehreren Berechnungen
: 2 Zuweisung an eine Variablen auf der linken Seite x:5

Prefix Operatoren

Operator Priorität Beschreibung Beispiel Ergebnis
+ 45 positives Vorzeichen +5 5
- 45 negatives Vorzeichen -(-5) 5
~ 95 bitweise Inversion einer 64bit-Ganzzahl ~0x0F0F 0xFFFFFFFFFFFFF0F0
! 120 logisches NOT !(3<4) false
++ 130 Inkrement von Ganzzahlen ++x erhöht x um eins und gibt das Ergebnis nach der Erhöhung zurück
-- 130 Dekrement von Ganzzahlen --x vermindert x um eins und gibt das Ergebnis nach der Verminderung zurück
% 200 Prefix für Namen, welche als Konstante definiert sind %pi 3.141592653589793

Suffix Operatoren

Operator Priorität Beschreibung Beispiel Ergebnis
++ 135 Inkrement von Ganzzahlen x++ erhöht x um eins und gibt den Variablenwert vor der Erhöhung zurück
-- 135 Dekrement von Ganzzahlen x-- vermindert x um eins und gibt den Variablenwert vor der Verminderung zurück

Klammern

  • () runde Klammern werden für mathematische Ausdrücke zur Klammerung verwendet
  • {} geschwungene Klammer werden im Angabetext für die Namen der Datensätze verwendet
  • [] eckige Klammern werden für Vektoren und Matrizen verwendet

Funktionen

Funktionen für Ganzzahlen

Funktion Beschreibung Beispiel Ergebnis
band bitweises UND band(4,12) 4
bor bitweises ODER bor(4,1) 5
bxor bitweises EXKLUSIV ODER band(4,5) 1
bimp bitweises Parameter1 impliziert Parameter2 bimp(13,10) 8
binv bitweises NICHT mit 8 bit binv(0x0F) 0xF0
shl Schiebe Ganzzahl bitweise nach links shl(8,2) 32
shr Schiebe Ganzzahl bitweise nach rechts shr(8,2) 2
div Ganzzahldivision, Ergebnis wird abgeschnitten div(5,2) 2
inv8 bitweise Invertieren und die letzten 8 Bit bestimmen inv8(0b1001) 0b11110110
inv16 bitweise Invertieren und die letzten 16 Bit bestimmen inv16(0xF0) 0xFF0F
inv32 bitweise Invertieren und die letzten 32 Bit bestimmen inv32(0xF0) 0bFFFFFF0F
inv64 bitweise Invertieren und die letzten 64 Bit bestimmen inv64(0xF0) 0bFFFFFFFFFFFFFF0F
byte Zahl in eine Ganzzahl wandeln und die letzten 8bit der Zahl Abschneiden, Einheit geht verloren byte(34.2) 34
word Zahl in eine Ganzzahl wandeln und die letzten 16bit der Zahl Abschneiden, Einheit geht verloren word(34.2) 34
int Zahl in eine Ganzzahl wandeln und die letzten 32bit der Zahl Abschneiden, Einheit geht verloren int(34.2) 34
long Zahl in eine Ganzzahl wandeln , Einheit geht verloren long(34.2) 34
parity Paritätsberechnung : parity(Parität,Codewortlänge,Datenwort[,Datenwort,....]) parity(even,7,"xy")
blockparity Kreuz oder Blockparität : blockparity(Parität,Codewortlänge,Codewortanzahl,Datenwort[,Datenwort,....]) blockparity(even,7,3,"abc")
bcd Wandelt in eine Long-Zahl in ein Feld aus BCD-kodierten Zahlen um bcd(124) [1,2,4]
code Code aus mehreren Codeworten zusammensetzen : code(Codewortlänge,Datenwort[,Datenwort,....]) code(5,4,3,5) 0b1000001100101
hamming Bestimmt den Hamming-Abstand von mehreren Codeworten hamming(1,2,4,8,16) 2
komplement Bildet das Zweierkomplement mit einer negativen Zahl mit einer bestimmten Bitanzahl, fehlt die Bitanzahl, so wird ein 32Bit-2er-komplement gebildet komplement(-5,8) 0b11111011
bitstream Erzeugt aus einer Ganzzahl einen Bitstrom als String mit einer definierten Anzahl von Bit (MSB werden nötigenfalls mit 0 gefüllt) : bitstream(Daten,Bitanzahl) bitstream(0x184,12) "000110000100"

Funktionen für rationale und Ganzzahlen

Funktion Beschreibung Beispiel Ergebnis
kgV berechnet das kleinste gemeinsame Vielfache von mehreren Zahlen kgV(3,10) 30
ggT berechnet den größten gemeinsamen Teiler von mehreren Zahlen ggT(12,10) 2
isprim prüft ob die angegebene Zahl eine Primzahl ist isprim(13) true
prims zerlegt eine Ganzzahl in ihre Primfaktoren prims(12) [2,2,3]
defracmix zerlegt eine rationale Zahl in einen gemischten Bruch aus ganzzahligem Summanden, Zähler und Nenner als Menge
Die erhaltene Menge kann mit dem Format-Modfier frac als gemischter Bruch dargestellt werden (siehe Zahlendarstellung)
defracmix(14/12)
defracmix(-15/12)
defracmix(3/12)
[1,2/12]
[-1,3,12]
[0,3,12]
defrac zerlegt eine rationale Zahl in Zähler und Nenner als Menge
Die erhaltene Menge kann mit dem Format-Modfier frac als gemischter Bruch dargestellt werden
defrac(14/12) [13,12]
frac erzeugt aus einer Menge aus 2 oder 3 Elementen (von defrac) eine rationale Zahl frac([3,7])
frac([1,2,3])
3/7
5/3
mod Mathematische Implementierung von modulo: Divisionsrest einer Division mit ganzzahligem Ergebnis mod(5,2)
mod(6.2,2.5)
mod(-4,3)
1
1.2
2
mod2 Symmetrische Implementierung von modulo: Divisionsrest einer Division mit ganzzahligem Ergebnis
Der Unterschied zu mod liegt in der Behandlung von negativen Zahlen des ersten Arguments
Siehe auch Divisionsrest des Parser-Operators % Berechnungen#arithmetische_Operatoren
mod2(5,2)
mod2(6.2,2.5)
mod2(-4,3)
1
1.2
-1

boolsche Funktionen

Funktion Beschreibung Beispiel Ergebnis
eq gleich eq(4,4) true
eqruntime symbolischer Vergleich, welcher symbolisch erst bei der Ergebnisberechnung ausgeführt wird. Muss verwendet werden, wenn bei Vergleichen symbolische Antworten von Schülern (Q0,Q1,...) verwendet werden. eqruntime(x+3*y,3*y+x) true
ne ungleich ne(6,4) true
ge größer gleich ge(6,4) true
le kleiner gleich le(6,4) false
gt größer gt(6,4) true
lt kleiner lt(6,4) false
between prüft ob Parameter1 kleiner als Parameter2 und Parameter2 kleiner als Parameter 3 between(3,4,5) true
land logisches UND land(a<b,b<c)
lor logisches ODER lor(a<b,b<c)
not logisches NICHT. Vorsicht ein symbolisches Ergebnis von Maxima liefert not als Prefix-Operator, welcher vom Parser nicht unterstützt wird ( Verwende statt dessen lnot ) not(a<b)
lnot logisches NICHT, wie not jedoch wird es von Maxima nicht ausgewertet lnot(a<b)

arithmetische Funktionen

Funktion Beschreibung Beispiel Ergebnis
double Zahl in eine Gleitkommazahl umwandeln, die Einheit geht dabei verloren double(3.4V) 3.4
numeric verwirft die Einheit, wenn eine vorhanden ist und liefert nur den Zahlenwert numeric(2.3mA)
numeric(5%)
0.0023
5
unit gibt die SI-Einheit mit dem Zahlenwert 1 zurück unit(3.1kA)
unit(5%)
1A
1%
cround Rundet die Zahl kaufmännisch, der zweite Parameter gibt die Anzahl der Kommastellen an, ohne 2.Parameter wird auf Ganzzahlen gerundet, bei komplexen Zahlen wird Betrag und Winkel in Grad gerundet. cround(23.535,2)
cround(2.435arg34.5364°,1)
23.54
2.4arg34.5°
ccround Rundet die Zahl kaufmännisch, der zweite Parameter gibt die Anzahl der Kommastellen an, bei komplexe Zahlen wird Real und Imaginärteil gerundet. ccround(2.4534+5.645*%i,2) 2.45+5.65i
round Rundet die Zahl kaufmännisch, aus Kompatibilitätsgründen zu Maxima hat round nur einen Parameter round(23.535) 24
ground Rundet die Zahl auf die im zweiten Parameter angegebenen gültigen Ziffern ground(2453.43,2) 2500
floor Rundet auf die größte ganze Zahl, welche kleiner oder gleich x ist floor(24.5) 24
trunc Schneidet die Zahl nach dem Komma ab trunc(24.5) 24
ceiling ceiling(x) Rundet auf die kleinste ganze Zahl, welche größer oder gleich x ist ceiling(13.2) 14
pow Potenzfunktion pow(2,3) 8
par Parallelschaltung von Widerständen par(x,y) x*y/(x+y)
min Minimum von mehrere Werten suchen min(3,5,1) 1
max Maximum von mehreren Werten suchen max(3,5,1) 5
random Zufallszahl aus einem definierten Zahlenbereich random(minimal,maximal)
VORSICHT! Die Zufallszahl wird bei jedem Aufruf neu berechnet, weshalb sich der Wert bei jedem Anzeigevorgang einer Frage ändert. Sollte sich der berechnete Wert für eine Schülerangabe zwischen Fragestellung und Ergebniskontrolle nicht ändern dürfen (ist der Normalfall) muss man einen Datensatz statt einer Zufallszahl verwenden!
Zufallszahlen haben in der Ergebnisberechnung keinen Sinn, und sollten maximal für angezeigte zufällige Werte verwendet werden!
random(2,8) 3.4532
randomC komplexe Zufallszahl aus einem definierten Zahlenbereich für den Betrag
VORSICHT! Die Zufallszahl wird bei jedem Aufruf neu berechnet!
randomC(2,8) 3.4532arg40.3°
signum Liefert das Vorzeichen einer Zahl (-1,0,1). Bei einer komplexen Zahl das Vorzeichen des Realteils. signum(-4) -1

Maxima-basierte Funktionen

  • Diese Funktionen funktionieren nur wenn Maxima installiert ist und werden immer an Maxima gesendet, auch wenn der interne Parser aktiviert ist.
  • Weiters werden sie bei der Ausgabe als TeX-Formel auch korrekt mit LaTeX gesetzt.
Funktion Beschreibung Beispiel Ergebnis
integrate Berechnet das unbestimmte oder bestimmte Integral einer Funktion. integrate(x^2,x)
integrate(x^2,x,0,2)
x^3/3
8/3
diff Berechnet die Ableitung einer Funktion. diff(x^2,x)
diff(3*x^2,x,2)
x
6
tomaxima Führt die Berechnung aller Parameter von links nach rechts hintereinander mit Maxima aus. Das Ergebnis ist dann das Ergebnis des letzten Parameters. tomaxima(y:x^2,y+2) x^2+2
laplace Bestimmt die Laplace-Transformierte einer Funktion. laplace(sin(t),t,s) 1/(1+s^2)
ilt Bestimmt die inverse Laplace-Transformierte eine Laplace-Funktion ilt(1/(1+s),s,t) e^(-t)
sum Summenbildung sum(1/k,k,1,2) 3/2
product Produktbildung product(1/k,k,1,3) 1/6

erweiterte arithmetische Funktionen

Funktion Beschreibung Beispiel Ergebnis
sigma Sprungfunktion: sigma(x) liefert 0 für x<0 und 1 für x>=0 sigma(243.3) 1
pulse Rechteckfunktion:
pulse(x,x0) ist gleich 1 für x0 < x < x0 + 1, sonst 0
pulse(x,x0,L) ist gleich 1 für x0 < x < x0 + L, sonst 0
pulse(x,2,4)
interpol Interpolationsfunktion zwischen mehreren Stützpunkten in einem Koordinatensystem.
interpol(WerteX,WerteY,x)
interpol([0,1,2],[0,3,3],1.5) 3
periodic Erzeugt aus einer beliebigen Funktion zwischen 0 und Periodendauer eine periodische Funktion
periodic(Variable,Periodendauer,Funktion)
periodic(Variable,Periodendauer,Funktionsperiodendauer,Funktion)
ch1(t):periodic(t,5ms,2'Vms-2'*t^2)
ch1(t):periodic(t,5ms,1,2V*t^2)
:
 :
numint numerische Integration
numint(untereGrenze,obereGrenze,funktion,Variable)
numint(untereGrenze,obereGrenze,funktion,Variable,punkteAnzahl)
numint(0,2pi,sin(t),t) 0
numdif numerisches Differenzieren einer Funktion "funktion" nach einer Variablen "Variable" an der Stelle "position" mit einer Differenz der Variablen von "differenz"
numdif(position,funktion,Variable,differenz)
numdif(0,sin(t),t,0.01) 1
solve löst eine Gleichung oder ein Gleichungssystem nach einer oder mehrerer Variablen solve([2*x+y=3,x-y=0],[x,y]) [ [ x=1,y=1 ] ]
solvevalue löst eine Gleichung oder ein Gleichungssystem nach einer Variablen und liefert genau die erste Lösung wenn sie numerisch berechenbar ist solvevalue([ 2*x+y=3,x-y=0 ],[ x,y ],x) 1
newton Bestimmt eine Nullstelle einer Funktion nach dem Newton-Verfahren. Der erste Parameter ist ein Ausdruck in einer Variablen, der zweite Parameter ist der Startwert. newton(x^2-4,4) 2
cnewton Bestimmt eine komplexe Nullstelle einer Funktion nach dem Newton-Verfahren. Der erste Parameter ist ein Ausdruck in einer Variablen, der zweite Parameter ist der komplexe Startwert. cnewton (x^2+4,4) 2*%i
newtonall Bestimmt alle Nullstellen einer Funktion mit einem Betrag des Funktionsparameters kleiner als ein definierter Wert nach dem Newton-Verfahren. Der erste Parameter ist ein Ausdruck in einer Variablen, der zweite Parameter ist der maximale Betrag des Funktionsparameters. Das Ergebnis ist immer ein Vektor mit den nach aufsteigendem Funktionswert sortierten Nullstellen. newtonall (x^2-4,4) [-2,2]
cnewtonall Bestimmt alle komplexen Nullstellen einer Funktion mit einem Betrag des Funktionsparameters kleiner als ein definierter Wert nach dem Newton-Verfahren. Der erste Parameter ist ein Ausdruck in einer Variablen, der zweite Parameter ist der maximale Betrag des Funktionsparameters. Das Ergebnis ist immer ein Vektor mit den Nullstellen. cnewtonall (x^2+4,4) [-2*%i,2*%i]

Gleichungen und Gleichungssysteme

Funktion Beschreibung Beispiel Ergebnis ab Revision
solve löst eine Gleichung oder ein Gleichungssystem nach einer oder mehrerer Variablen solve([2*x+y=3,x-y=0],[x,y]) [ [ x=1,y=1 ] ]
lhs liefert die linke Seite einer Gleichung, Ungleichung oder eines Infix Operators lhs(x+y=c+2) x+y 6521
rhs liefert die rechte Seite einer Gleichung, Ungleichung oder eines Infix Operators rhs(x+y=c+2) c+2 6521
onlypos liefert aus dem Lösungsvektor von solve welcher aus lauter Gleichungen besteht nur die Lösungen welche positiv nicht Null sind onlypos([[x=3,y=-3],[x=4,y=5],[x=-2,y=4]])
onlypos([x=-2,x=0,x=6,x=8])
[ [x=4,y=5] ]
[x=7,x=8]
6522
onlyreal liefert aus dem Lösungsvektor von solve welcher aus lauter Gleichungen besteht nur die Lösungen welche reell sind onlyreal([[x=1,y=%i],[x=1,y=-%i],[x=3,y=4]])
onlyreal([x=%i+1,x=1-%i,x=3,x=8])
[ [x=3,y=4] ]
[x=3,x=8]
6522

Stringfunktionen

Funktion Beschreibung Beispiel Ergebnis
dechex Zahl in eine Ganzzahl wandeln und als Hexadezimal-String ausgeben dexhex(12) "0xC"
chr Bestimmt die Zeichen mit dem ASC-II-Code der Long-Parameter und setzt daraus einen String zusammen. chr(0x65,105) "ei"
val Bestimmt den ASC-II-Code des ersten Zeichens welches als String-Parameter übergeben wurde. val("a") 97
strcat Fügt mehrere Strings zusammen. strcat("a","b") "ab"

trigonometrische Funktionen

Funktion Beschreibung Beispiel Ergebnis
sin Sinus sin(%pi/2) 1
cos Cosinus cos(%pi/2) 0
tan Tangens tan(%pi/4) 1
asin Arcus-Sinus asin(1) %pi/2
arcsin Arcus-Sinus asin(1) %pi/2
acos Arcus-Cosinus acos(1) 0
arccos Arcus-Cosinus acos(1) 0
atan Arcus-Tangens atan(1) %pi/4
arctan Arcus-Tangens arctan(1) %pi/4
atan2 Arcus-Tangens atan2(y,x)=arctan(y/x) atan2(-2,-2) -%pi*3/4
arctan2 Arcus-Tangens arctan2(y,x)=arctan(y/x) arctan2(-2,-2) -%pi*3/4
sinh Sinus-Hyperbolicus sinh(1) 1.1752012
cosh Cosinus-Hyperbolicus cosh(1) 1.5430806
tanh Tangens-Hyperbolicus tanh(1) 0.7615941
coth Cotangens-Hyperbolicus coth(1) 1.313035
asinh Area-Sinus-Hyperbolicus asinh(1.1752012) 1
acosh Area-Cosinus-Hyperbolicus acosh(1.5430806) 1
atanh Area-Tangens-Hyperbolicus atanh(0.7615941) 1
acoth Area-Cotangens-Hyperbolicus acoth(1.313035) 1
csin Erzeugt aus einer komplexen Zahl (Effektivwert) und einer Frequenz einen Sinusfunktion in der Zeit csin(U) sqrt(2)*cabs(U)*sin(2*pi*f*t+carg(U))
quadrant Liefert den Quadranten eines Winkels mit einer Toleranzangabe. quadrant(20°,5°) 1
argnorm Wandelt einen Winkel auf den Bereich von 0°-360° argnorm(-50°) 310°

Exponentialfunktionen

Funktion Beschreibung Beispiel Ergebnis
pow Potenzfunktion pow(2,3) 8
exp Exponentialfunktion exp(1) %e
log natürlicher Logarythmus log(%e) 1
ln natürlicher Logarythmus ln(%e) 1
log10 Logarythmus zur Basis 10 log10(100) 2

komplexe Zahlen

Die Funktionen zu komplexen Zahlen werden (anders als in Maxima) nur ausgewertet wenn das Ergebnis numerisch berechenbar ist, ansonsten bleibt die Funktion symbolisch erhalten.

Funktion Beschreibung Beispiel Ergebnis
abs Liefert den Absolutbetrag einer komplexen Zahl abs(3+4*%i) 5
cabs Liefert den Absolutbetrag einer komplexen Zahl cabs(3+4*%i) 5
carg Liefert das Argument einer komplexen Zahl carg(4*%e^(3*%i)) 3
realpart Liefert den Realteil einer komplexen Zahl realpart(3+4*%i) 3
imagpart Liefert den Imaginärteil einer komplexen Zahl imagpart(3+4*%i) 4
conjugate Liefert die konjugiert komplexe Zahl einer komplexen Zahl conjugate(3+4*%i) 3-4*%i
rectform hat in LeTTo keine Relevanz, da die Zahlendarstellung bei der Ausgabe definiert wird wie zB.: {=3arg2;karti}

Polynome

Polynome mit reellen Koeffizienten in einer Variablen können mit folgenden Funktionen erstellt und verarbeitet werden. Für die interne Verarbeitung wird hierzu ein eigener Polynom-Datentyp verwendet.

siehe auch Zahlendarstellung Polynome

Funktion Beschreibung Beispiel Ergebnis
polynom(p) Erzeugt aus einem Ausdruck welcher genau eine Variable besitzen muss ein Polynom in dieser Variablen polynom(1+x) 1+x²
polynom(p,var) Erzeugt aus einem Ausdruck ein Polynom in einer definierten Variablen. Ist p ein gültiger Polynom-Ausdruck mit reelen Koeffizienten in der Variablen var wird das Polynom erzeugt, ansonsten bleibt die Funktion erhalten. polynom(1+a*x^2,x)
polynom(1+2*x^2,x)
polynom(1+a*x^2,x)
1+2*x²
polynom(p,var,"einheit") Erzeugt ein Polynom in der Variablen var, mit der Einheit "einheit" für die Polynomvariable. Die Einheit muss als String in Doppelhochkomma angegeben werden! Das Polynom p muss entweder ohne Einheiten oder mit den korrekten Einheiten angegeben werden! polynom(1+2*p^2,p,"s-1")
polynom(1+2's2'*p^2,p,"s-1")
1+2's2'*p^2
1+2's2'*p^2
factfrompolynom(p) Erzeugt aus einem Polynom einen Vektor mit den Polynomfaktoren. Erste Zeile Zählerfaktoren, zweite Zeile Nennerfaktoren, dritte Zeile Polynomvariable, vierte Zeile Einheit der Polynomvariable factfrompolynom(polynom((2+x)/(1+2*x))) [[1,0.5],[0.5,1],"x",""]
polynomfromfact(f) Erzeugt aus einer Faktoren-Liste, welche mit factfrompolynom erstellt wurde ein neues Polynom polynomfromfact([[1,0.5],[0.5,1],"x",""]) (2+x)/(1+2*x)
polynomfromfact(zähler,nenner,var,einheit) Erzeugt aus Zähler und Nenner Faktor-Vektoren ein neues Polynom polynomfromfact([1,0.5],[0.5,1],x,"") (2+x)/(1+2*x)
nullfrompolynom(p) Erzeugt aus einem Polynom einen Vektor mit den PolynomNullstellen und Polstellen. Erste Zeile gemeinsamer Faktor, zweite Zeile Nullstellen, dritte Zeile Polstellen, vierte Zeile Polynomvariable nullfrompolynom(polynom((2+x)/(1+2*x))) [0.5,[-2],[-0.5],x]
polynomfromnull(n) Erzeugt aus einer Nullstellen-Polstellen-Liste, welche mit nullfrompolynom erstellt wurde ein neues Polynom polynomfromnull([0.5,[-2],[-0.5],x]) (2+x)/(1+2*x)
polynomfromnull(faktor,nullstellen,polstellen,var) Erzeugt aus einer Faktor-Vektoren ein neues Polynom polynomfromnull(0.5,[-2],[-0.5],x) (2+x)/(1+2*x)
polynomk(p) Bestimmt den Faktor, welcher vom Polynom herausgehoben werden kann, so dass die höchste Potenz der Polynomvariable den Multiplikator Eins hat. polynomk(polynom((2+x)/(1+2*x))) 0.5

statistische Funktionen

Die Funktionen funktionieren nur ohne Einheiten.

Funktion Beschreibung Beispiel Ergebnis
factorial Liefert die Fakultät einer positiven ganzen Zahl factorial(5) 120
binomial Liefert den Binomialkoeffizienten von zwei positiven ganzen Zahlen binomial(5,2) 10

Mengen-Funktionen

Mengen werden intern als Vektoren verarbeitet und sind deshalb auch direkt durch Vektoren ersetzbar. Auch alle Vektor-Funktionen sind somit auch auf Mengen anwendbar und umgekehrt.

Funktion Beschreibung Beispiel Ergebnis ab Rev
setget Liefert ein Element einer Menge oder einer Matrix (Menge von Mengen) setget([12,13,14],1)
setget(matrix([9,2],[3,4]),0,1)
13
2
setset setzt ein Element einer Menge oder einer Matrix (Menge von Mengen) setset([12,13,14],1,35)
setset(matrix([9,2],[3,4]),0,0,-9)
[12,35,14]
[[-9,2],[3,4]]
setlength liefert die Anzahl der Elemente einer Liste, Menge oder eines Vektors setlength([3,6,54,34,3,54]) 6
setinsert fügt ein Element in eine Menge an eine gegebene Stelle ein setinsert([12,13,14],1,25) [12,25,13,14]
setremove löscht ein Element einer Menge setremove([12,13,14],1) [12,14]
setapply wendet einen Ausdruck oder Funktion auf alle Elemente einer Menge an setapply(y,[1,2,3],y*2) [2,4,6] 5965
setmedian Liefert den Median einer Menge setmedian([4,3,1,5,6]) 4
setboxplot Liefert die Werte des Boxplot einer Menge (Minimum, unteres Quartil, Median, oberes Quartil, Maximum) als Vektor verwendbar für das Plot-Plugin setboxplot([1,2,3,10,8,9]) [1,2,5.5,9,10]
setsort Sortiert die Elemente einer Menge aufsteigend setsort([3,-3,2,0,5,2]) [-3,0,2,2,3,5]
setsortnd Sortiert die Elemente einer Menge aufsteigend und entfernt alle mehrfach vorkommenden Elemente setsortnd([31,-3,2,31,0,5,2]) [-3,0,2,5,31]
setcount Bestimmt die Anzahl wie oft ein Element in einer Menge vorkommt oder die Anzahl der Elemente der Menge setcount([31,-3,2,31,0,5,2],31)
setcount([2,5,3,6])
2
4
setmodus Liefert das Element einer Menge, welches am öftesten vorkommt oder die Elemente als Menge wenn mehrere Elemente gleich oft vorkommen setmodus([3,-3,2,0,5,2]) 2
setreverse Dreht die Reihenfolge einer Menge um setreverse([3,-3,2,0,5,2]) [2,5,0,2,-3,3]
setnd Löscht alle Duplikate aus der Menge setnd([3,-3,2,0,5,2]) [3,-3,2,0,5]
setshuffle Mischt eine Menge in eine andere Reihenfolge. VORSICHT, ohne zweiten Parameter (ganze Zahl) ändert sich die Reihenfolge bei jedem mal neu Laden automatisch und ist nicht nachvollziehbar, weshalb sie dann für Schülerbeispiele nicht einsetzbar ist! Daher ist es für eine praktische Anwendung in einem Schülerbeispiel erforderlich, dass der zweite Parameter determiniert (beispielsweise über einen Integer-Datensatz-Wert zwischen 0 und 1000) festgelegt wird. setshuffle([3,-3,2,0,5,2],5) [2,3,−3,2,0,5] 6082
setmittel Bestimmt den Mittelwert einer Menge setmittel([1,3,2,4]) 2.5
setgeomittel Bestimmt das geometrische Mittelwert einer Menge aus positiven reellen Zahlen setgeomittel([10,20,30]) 18.171206
setvarianz Bestimmt die empirische Varianz einer Menge setvarianz([3,1,2,5,4]) ((3-3)^2+(1-3)^2+(2-3)^2+(5-3)^2+(4-3)^2)/5=2
setquadratmittel Bestimmt den quadratischen Mittelwert einer Menge setquadratmittel([10,20,30]) 21.6025
setsum Bestimmt die Summe aller Werte einer Menge setsum([1,3,2,4]) 10
setprod Bestimmt das Produkt aller Werte einer Menge setprod([1,3,2,4]) 24
setunion Fügt mehrere Mengen zu einer neuen Menge zusammen setunion([1,3,2,4],[3,7]) {1,3,2,4,3,7}
setunionnd Fügt mehrere Mengen zu einer neuen Menge zusammen, sortiert diese und entfernt alle mehrfachen Elemente setunionnd([1,3,2,4],[3,7]) {1,2,3,4,7}
setcut Bildet die Schnittmenge aus mehreren Mengen setcut([1,3,2,4],[3,7]) {3}
setcompare vergleicht zwei Mengen miteinander, wobei die Reihenfolge egal ist setcompare([1,3,2,4],[3,7])
setcompare([1,3,2],[1,2,3])
setcompare([1,3,2],[1,3,2,3])
setcompare([1,2,3],[1,2,3])
false
true
false
true
setcomparend vergleicht zwei Mengen miteinander, wobei die Reihenfolge egal ist und doppelte Werte als einfach behandelt werden. setcomparend([1,3,2,4],[3,7])
setcomparend([1,3,2],[1,2,3])
setcomparend([1,3,2],[1,3,2,3])
setcomparend([1,2,3],[1,2,3])
false
true
true
true
setpartof prüft ob die erste Menge eine Teilmenge der zweite Menge ist wobei die Reihenfolge egal ist aber mehrfache Werte berücksichtigt werden setpartof([1,4],[1,3,7])
setpartof([1,3],[1,2,3])
setpartof([1,3,3],[1,3,5,7])
setpartof([1,4,4],[1,2,3,4])
false
true
false
false
setpartofnd prüft ob die erste Menge eine Teilmenge der zweite Menge ist wobei die Reihenfolge und mehrfache Werte egal sind setpartofnd([1,4],[1,3,7])
setpartofnd([1,3],[1,2,3])
setpartofnd([1,3,3],[1,3,5,7])
setpartofnd([1,4,4],[1,2,3,4])
false
true
true
true
setgetmin Liefert den kleinsten Wert einer Menge setgetmin([1,3,-2,4]) -2
setgetmax Liefert den größten Wert einer Menge setgetmax([1,3,-2,4]) 4
setremovefirst Entfernt den ersten Wert einer Menge setremovefirst([1,3,-2,4]) {3,-2,4}
setremovelast Entfernt den letzten Wert einer Menge setremovelast([1,3,-2,4]) {1,3,-2}
setgetfirst Liefert den ersten Wert einer Menge setgetfirst([1,3,-2,4]) 1
setgetlast Liefert den letzten Wert einer Menge setgetlast([1,3,-2,4]) 4
setsub setsub(M,x,y) Liefert eine Teilmenge von M der Elemente vom index x bis zum Index y setsub([1,3,-2,4],1,2) {3,-2}
setmakelist setmakelist(f,x,start,stop) setzt in den Ausdruck f für x die Werte von start bis stop mit einer Schrittweite von 1 ein. setmakelist(x^2,x,1,4) [ 1,4,9,16 ]
setmakelist(f,x,start,stop,schrittweite) setzt in den Ausdruck f für x die Werte von start bis stop mit dem Abstand schrittweite ein. setmakelist(x^2,x,1,2,0.5) [ 1,2.25,4 ]
setmakelist(f,x,set) setzt die Werte des Vektors set in den Ausdruck f für x ein. setmakelist(x^2,x,[3,1,2]) [ 9,1,4 ]
foreach Führt für jedes Element eine Berechnung aus und verbindet die Ergebnisse mit der Aggregatfunktion foreach([2,-3,5,-6],p,cabs(p),"+") 16 6075

Punkte-Mengen-Funktionen

Bei der Eingabe mit dem Plot-Plugin werden Punkte-Mengen als Matrizen in der Form [[x1,y1],[x2,y2],[y3,y3]] für die gespeicherten Punkte welcher der Schüler eingegeben hat verwendet.

Um die Verarbeitung der Eingaben zu erleichtern kann man die Funktionen beginnend mit pv verwenden.

Funktion Beschreibung Beispiel Ergebnis ab Rev
pvabs Bestimmt den Betrag eines Punktes oder aller Ortsvektoren zu den Punkten. pvabs([[2,3],[4,5],[6,3],[-2,4]])
pvabs([[2,3],[4,5],[6,3],[-2,4]],1)
[3.6056,6.4031,6.7082,4.4721]
6.4031
6077
pvarg Bestimmt den Winkel eines Punktes oder aller Ortsvektoren zu den Punkten. pvarg([[2,3],[4,5],[6,3],[-2,4]])
pvarg([[2,3],[4,5],[6,3],[-2,4]],1)
[0.98279,0.89606,0.46365,2.0344]
0.89606
6077
pvget Liefert einen Punkt der Punkteliste. pvget([[2,3],[4,5],[6,3],[-2,4]],1) [4,5] 6077
pvgetx Bestimmt die x-Koordinate eines Punktes oder aller Punkte. pvgetx([[2,3],[4,5],[6,3],[-2,4]])
pvgetx([[2,3],[4,5],[6,3],[-2,4]],1)
[2,4,6,-2]
4
6077
pvgety Bestimmt die y-Koordinate eines Punktes oder aller Punkte. pvgety([[2,3],[4,5],[6,3],[-2,4]])
pvgety([[2,3],[4,5],[6,3],[-2,4]],1)
[3,5,3,4]
3
6077
pvdistance Bestimmt die Abstände als Vektoren zwischen den Punkten. pvdistance([A,B,C]) liefert [AB,BC,CA] pvdistance([[1,2],[3,4],[10,10]]) [[2,2],[7,6],[-9,-8] 6569
pvlineabs Bestimmt aus dem n-ten Punktepaar den Absolutbetrag des Abstandes. pvlineabs([[2,3],[4,5],[6,3],[-2,4]])
pvlineabs([[2,3],[4,5],[6,3],[-2,4]],0)
[2.8284,8.0623]
2.82842712475
6075
pvlinearg Bestimmt aus dem n-ten Punktepaar den Winkel der Strecke zur x-Achse pvlinearg([[2,3],[4,5],[6,3],[-2,4]])
pvlinearg([[2,3],[4,5],[6,3],[-2,4]],0)
[45°,172.87°]
45°
6075
pvlinek Bestimmt die Steigung der zugehörigen Geraden dem n-ten Punktepaar pvlinek([[2,3],[4,5],[6,3],[-2,4]])
pvlinek([[2,3],[4,5],[6,3],[-2,4]],0)
[1,−0.125]
1
6075
pvlined Bestimmt den Schnittpunkt einer Geraden durch das n-te Punktepaar mit der y-Achse pvlined([[2,3],[4,5],[6,3],[-2,4]])
pvlined([[2,3],[4,5],[6,3],[-2,4]],0)
[1,3.75]
1
6075
pvline Bestimmt die Geradengleichung einer Geraden durch das n-te Punktepaar pvline([[2,3],[4,5],[6,3],[-2,4]])
pvline([[2,3],[4,5],[6,3],[-2,4]],0)
[y=1+x,y=3.75−0.125⋅x]
y=x+1
6075
pvpoints Bestimmt die Anzahl der Punkte pvpoints([[2,3],[4,5],[6,3],[-2,4]]) 4 6075
pvvect Bestimmt einen Vector aus dem n-te Punktepaar pvvect([[2,3],[4,5],[6,3],[-2,4]],0) [2,2] 6075
pvsortx Sortiert die Punkte nach steigender x-Koordinate pvsortx([[2,3],[4,5],[6,3],[−2,4],[−3,5],[−7,−9]]) [[−7,−9],[−3,5],[−2,4],[2,3],[4,5],[6,3]] 6077
pvsorty Sortiert die Punkte nach steigender y-Koordinate pvsorty([[2,3],[4,5],[6,3],[−2,4],[−3,5],[−7,−9]]) [[−7,−9],[2,3],[6,3],[−2,4],[4,5],[−3,5]] 6077
pvsortabs Sortiert die Punkte nach steigendem Absolutbetrag des Ortsvektors pvsortabs([[2,3],[4,5],[6,3],[−2,4],[−3,5],[−7,−9]]) [[2,3],[−2,4],[−3,5],[4,5],[6,3],[−7,−9]] 6077
pvsortarg Sortiert die Punkte nach steigendem Winkel des Ortsvektors (-pi bis pi) pvsortarg([[2,3],[4,5],[6,3],[−2,4],[−3,5],[−7,−9]]) [[−7,−9],[6,3],[4,5],[2,3],[−2,4],[−3,5]] 6077
pvsortlinex Sortiert Punktepaare nach steigender x-Koordinate der kleineren x-Koordinate des Paares. pvsortlinex([[2,3],[4,5],[6,3],[−2,4],[−3,5],[−7,−9]]) [[−3,5],[−7,−9],[6,3],[−2,4],[2,3],[4,5]] 6077
pvsortliney Sortiert Punktepaare nach steigender y-Koordinate der kleineren y-Koordinate des Paares. pvsortliney([[2,3],[4,5],[6,3],[−2,4],[−3,5],[−7,−9]]) [[−3,5],[−7,−9],[2,3],[4,5],[6,3],[−2,4]] 6077
pvsortlineabs Sortiert Punktepaare nach steigendem Betrag der Linienlänge. pvsortlineabs([[2,3],[4,5],[6,3],[−2,4],[−3,5],[−7,−9]]) [[2,3],[4,5],[6,3],[−2,4],[−3,5],[−7,−9]] 6077
pvsortlinearg Sortiert Punktepaare nach steigendem Winkel der Linienrichtung. pvsortlinearg([[2,3],[4,5],[6,3],[−2,4],[−3,5],[−7,−9]]) [[−3,5],[−7,−9],[2,3],[4,5],[6,3],[−2,4]] 6077
pvequals Prüft ob zwei Punktevektoren gleich sind. Die Genauigkeit wird als dritter Parameter angegeben, oder bei einem Antwortfeld von der Antworttoleranz genommen. Prozentangaben der Genauigkeit beziehen sich auf die Breite bzw. Höhe des Punktefeldes im karthesischen Koordinatensystem. pvequals([[2,3],[4,5],[6,3],[-2,4],[-3,5],[-7,-9]],[[2.01,3],[4,5],[6.01,3],[-2,3.99],[-3,5],[-7,-9]],2%) true 6077
pvhaspoint Prüft ob sich ein Punkt innerhalb des Punktefeldes befindet. Die Genauigkeit kann wie bei pvequals als dritter Parameter angegeben werden. pvhaspoint([[2,3],[4,5],[6,3],[-2,4],[-3,5],[-7,-9]],[4,5],2%) true 6077
pvhasline Prüft ob sich eine Linie innerhalb des Punktefeldes von Linien befindet. Die Genauigkeit kann wie bei pvequals als dritter Parameter angegeben werden. pvhaspoint([[2,3],[4,5],[6,3],[-2,4],[-3,5],[-7,-9]],[[6,3],[-2,4]],2%) true 6078
pvforeachline Führt für jedes Punktepaar eine Berechnung aus und verbindet die Ergebnisse mit der Aggregatfunktion pvforeachline([[2,3],[4,5],[6,3],[-2,4]],p,pvlineabs(p),"+") 10.890684873 6075
pvfunc Erzeugt aus einer Funktionen in einer Variablen (x-Achse) eine Punktmatrix der Funktionswerte (y-Achse). pvfunc(funktion,variable,minx,maxx,deltax) pvfunc(x^2,x,-2,2,0.5) [[−2,4],[−1.5,2.25],[−1,1],[−0.5,0.25],[0,0],[0.5,0.25],[1,1],[1.5,2.25]] 6080
pvcompare Vergleicht einen Referenz-Linienzug mit einem eingegebenen Linienzug unter Berücksichtigung der Toleranz.
pvcompare(Referenz,Eingabe)
pvcompare(Referenz,Eingabe,Toleranz)
pvcompare(Referenz,Eingabe,MinX,MaxX,MinY,MaxY)
pvcompare(Referenz,Eingabe,MinX,MaxX,MinY,MaxY,Toleranz)
pvcompare([[0,0],[1,1],[2,1],[3,0]],[[0,0],[1,1],[2,1],[3,0]],0,3,-5,5) true 6080
pvunion hängt mehrere Punktevektoren zu einem größereren Punktevektor zusammen pvunion([[1,2],[3,4]],[[5,6],[7,8]],[9,10]) [[1,2],[3,4],[5,6],[7,8],[9,10]] 6569

Typ-Funktionen

Werden nur dann ausgewertet wenn der Parameter ein numerischer Wert oder eine Menge ist.

Funktion Beschreibung Beispiel Ergebnis
isset Prüft ob es sich um eine Menge handelt. isset([12,13,14]) true
issetnumeric Prüft ob es sich um eine Menge aus reellen Zahlen handelt. issetnumeric([12,13.4,14]) true
issetlong Prüft ob es sich um eine Menge aus ganzen Zahlen handelt. issetlong([12,13,14]) true
islong Prüft ob es sich um eine ganze Zahl handelt. islong(12) true

Algebra

Index von Matrizen

  • Als Parameter von Matrix-, PV- und Vektor-Funktion beginnt der Index immer bei 0 zu zählen.
  • Greift man über den Namen und eckige Klammer auf den Index zu wird der Maxima-kompatible Index verwendet welcher bei 1 zu zählen beginnt.

Beispiel:

M:[[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]
a:vget(M,1,2)
b:M[2,3]
c:M[2][3]

a,b,c liefert immer das gleiche Element der Matrix!

Funktionen

Funktion Beschreibung Beispiel Ergebnis
matrix erzeugt aus mehreren gleich langen Vektoren eine Matrix matrix([1,2],[3,4]) [[1,2],[3,4]]
inv invertiert eine quadratische Matrix oder bildet 1/x inv(matrix([1,2],[3,4])) [[-2,1],[3/2,-1/2]]
vget liefert ein Element eines Vektors oder einer Matrix Video vget([12,13,14],1)
vget(matrix([9,2],[3,4]),0,1)
13
2
first liefert das erste Element mit dem Index 0 eines Vektors first([12,13,14]) 12
second liefert das zweite Element mit dem Index 1 eines Vektors second([12,13,14]) 13
third liefert das dritte Element mit dem Index 2 eines Vektors third([12,13,14]) 14
fourth liefert das vierte Element mit dem Index 3 eines Vektors fourth ([12,13,14,15,16,17,18]) 15
fifth liefert das fünfte Element mit dem Index 4 eines Vektors fifth ([12,13,14,15,16,17,18]) 16
sixth liefert das sechste Element mit dem Index 5 eines Vektors sixth ([12,13,14,15,16,17,18]) 17
vgetmaxima liefert ein Element eines Vektors oder einer Matrix wobei der Index (wie bei Maxima) bei 1 startet. vgetmaxima([12,13,14],1) 12
vset setzt ein Element eines Vektors oder einer Matrix vset([12,13,14],1,35)
vset(matrix([9,2],[3,4]),0,0,-9)
[12,35,14]
[[-9,2],[3,4]]
vsetmaxima setzt ein Element eines Vektors oder einer Matrix wobei der Index (wie bei Maxima) bei 1 startet. vsetmaxima([12,13,14],1,35) [35,13,14]
vinsert fügt ein Element in einen Vektor an eine gegebene Stelle ein vinsert([12,13,14],1,25) [12,25,13,14]
vremove löscht ein Element eines Vektors Video vremove([12,13,14],1) [12,14]
vabs Berechnet den Betrag eines Vektors vabs([3,4]) 5
vin Berechnet das innere Produkt von 2 Vektoren vin([1,2,3],[4,5,6]) 32
vex Berechnet das ex-Produkt von 2 Vektoren im 3-dimensionalen Raum vex([1,2,3],[4,5,6]) [-3,6,-3]
mrows liefert die Anzahl der Zeilen einer Matrix mrows([[3,4,4],[3,6,54,34,3,54]]) 2
mcols liefert die Anzahl der Spalten einer Matrix mcols([[3,4,4],[3,6,54,34,3,54]]) 6
mprod Bildet das Matrixprodukt aus zwei Matrizen mprod([[1,2],[3,4]],[[5,6],[7,8]]) [[19,22],[43,50]]
mtrans Bildet die transponierte Matrix mtrans([[1,2],[3,4]]) [[1,3],[2,4]]
minv Bildet die inverse Matrix minv([[1,2],[3,4]]) [[-2,1],[3/2,-1/2]]
mdet Bildet die Determinante einer quadratischen Matrix mdet([[1,2],[3,4]]) -2
mcunion Fügt mehrere Matrizen oder Vektoren spaltenweise(nebeneinander) zusammen mcunion([[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]],[[10,11],[12,13],[14,15]]) [[1,2,3,10,11],[4,5,6,12,13],[7,8,9,14,15]]
mrunion Fügt mehrere Matrizen oder Vektoren zeileweise(untereinander) zusammen mrunion([[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]],[[10,11,12],[13,14,15]]) [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9],[10,11,12],[13,14,15]]
msub msub(matrix,zeile,spalte,zeilen,spalten) Liefert eine Untermatrix beginnend bei Zeile und Spalten mit der angegebenen Anzahl von Zeilen und Spalten. Die Parameter Spalte,Zeilen und Spalten sind dabei optional. msub([[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]],0,1,2,2) [[2,3],[5,6]]
mcinsert mcinsert(matrix,matrixodervektor,position) Fügt an der Spaltenposition eine Matrix oder einen Vektor als neue Spalten ein mcinsert([[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]],[[10,11],[12,13],[14,15]],1) [[1,10,11,2,3],[4,12,13,5,6],[7,14,15,8,9]]
mrinsert mrinsert(matrix,matrixodervektor,position) Fügt an der Zeilenposition eine Matrix oder einen Vektor als neue Zeilen ein mrinsert([[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]],[[10,11,12],[13,14,15]],1) [[1,2,3],[10,11,12],[13,14,15],[4,5,6],[7,8,9]]
mcdelete mcdelete(matrix,position) Löscht die angegebene Spalte aus einer Matrix mcdelete([[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]],1) [[1,3],[4,6],[7,9]]
mrdelete mrdelete(matrix,position) Löscht die angegebene Zeile aus einer Matrix mrdelete([[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]],1) [[1,2,3],[7,8,9]]
vindex vindex(v,x) liefert den Index des Elementes eines Vektors, welcher am nächsten bei x liegt vindex([10,30,70],40) 1
vindexup vindexup(v,x) liefert den Index des Elementes eines Vektors, welcher größer oder gleich x ist vindexup([10,30,70],40) 2
vindexdown vindexdown(v,x) liefert den Index des Elementes eines Vektors, welcher kleiner oder gleich x ist vindexdown([10,30,70],60) 1
verweis verweis(M,x,n) liefert den Wert der n-ten Spalte (ohne Angabe von n die 2.Spalte) einer Matrix M wo x dem Wert in der ersten Spalte am nächsten liegt verweis([[10,33],[20,77],[30,99]],21) 77
verweisup verweisup(M,x,n) liefert den Wert der n-ten Spalte (ohne Angabe von n die 2.Spalte) einer Matrix M wo x dem Wert in der ersten Spalte am nächsten liegt verweisup([[10,33],[20,77],[30,99]],21) 99
verweisdown verweisdown(M,x,n) liefert den Wert der n-ten Spalte (ohne Angabe von n die 2.Spalte) einer Matrix M wo x dem Wert in der ersten Spalte am nächsten liegt verweisdown([[10,33],[20,77],[30,99]],27,1) 77
range range(anzahl) liefert ein Feld von ganzzahligen Werten von 0 beginnend range(5) [0,1,2,3,4]
linspace linspace(start,ende,anzahl) liefert ein Feld von Werte von Startwert bis Endwert mit gleichem Abstand linspace(4,8,5) [4,5,6,7,8]
logspace logspace(start,ende,anzahl) liefert ein Feld von Werte von Startwert bis Endwert mit gleichem logarithmischen Abstand logspace(10,10000,4) [10,100,1000,10000]

Variable

Funktion Beschreibung Beispiel Ergebnis
kill löscht Variable aus dem Variablenspeicher kill(x,y)
kill(allbut(y))
kill(all)
löscht die Variablen x und y
löscht alle Variablen mit Ausnahme von y
löscht alle Variable
allbut Liefert eine Liste aller Variablen des Parsers als Menge(Vektor) mit Ausnahme der als Parameter angegebenen Variablen allbut(x,y) [a,b,c]

Auswertung und Programmierung

Funktion Beschreibung Beispiel Ergebnis Revision
ev Auswertung eines Ausdruckes, als Parameter können Gleichungen angegeben werden, welche dann in den Ausdruck eingesetzt werden ev(x*y,y=4) x*4
evruntime Auswertung eines Ausdruckes, als Parameter können Gleichungen angegeben werden, welche dann in den Ausdruck eingesetzt werden. Das Einsetzen erfolgt erst bei der Ergebnisberechnung! evruntime(x*y,y=4) x*4
nv Auswertung eines Ausdruckes, als Parameter können Gleichungen angegeben werden, welche dann in den Ausdruck eingesetzt werden. Im Gegensatz zu ev werden bestehende Variable nur in den Gleichungen, aber nicht im Ausdruck selbst eingesetzt! nv(x*y,y=4) x*4
if Bedingungsfunktion if(bedingung,wahrwert,falschwert) if(4<6,10,12) 10
wenn Bedingungsfunktion wenn(bedingung,wahrwert,falschwert). Im Prinzip identisch wie if, jedoch kann if mit Maxima nicht verwendet werden. wenn(4<6,10,12) 10
plugin Ruft die Berechnungsmethode des Plugins, welches als erster Stringparameter angegeben werden muss auf und übergibt die weiteren Parameter an die Berechnungsmethode des Plugins. plugin("plugin1",3) führt die Berechnung des Plugins mit dem Namen "plugin1" mit dem Parameter 3 aus.
symbolic Bei allen Variablen innerhalb von symbolic werden nur nicht-numerische Werte eingesetzt! Wird vor allem im Angabtext bei {= } verwendet symbolic(x^2+2) x^2+2
runtime Bei dieser Funktion wird erst bei der Berechnung der Frageantwort, nach dem Einsetzen der Datensätze das komplette Maxima-Feld mit dem internen Parser durchgerechnet und danach der Parameter-Ausdruck berechnet. Dadurch kann man bei komplizierten Berechnungen eine sehr aufwendige symbolische Berechnung verhindern! runtime(U)
dataset liefert alle Datensätze einer Datensatz-Definition in einem Vektor dataset(x)
parse Wenn der Parameter ein String ist wird dieser String mit dem Parser interpretiert parse("2+3") 5
foreach Führt für jedes Element einer Menge eine Berechnung aus und verbindet die Ergebnisse mit der Aggregatfunktion foreach([2,-3,5,-6],p,cabs(p),"+") 16 6075
pvforeachline Führt für jedes Punktepaar einer Punktemenge eine Berechnung aus und verbindet die Ergebnisse mit der Aggregatfunktion pvforeachline([[2,3],[4,5],[6,3],[-2,4]],p,pvlineabs(p),"+") 10.890684873 6075
forloop Führt eine Zählschleife aus forloop(Variable,Startwert,Wiederholbedingung,Inkrement,Ausdruck,Aggregatsfunktion).
Ohne Aggregatsfunktion wird ein Feld mit den Ergebnissen der Schleifeniterationen geliefert.
forloop(i,1,i<7,i++,i,"+")
forloop(i,1,i<7,i:i+2,i)
21
[1,3,5]
6077

Optimierung der Ausdrücke

Funktion Beschreibung Beispiel Ergebnis
opt Ausdruck wird vollständig optimiert, die Funktion wird ausgewertet und ist danach nicht mehr vorhanden. Nur bei der Verwendung des internen Parser sinnvoll. opt(x+x) 2*x
ratsimp Ausdruck wird vollständig optimiert, die Funktion wird ausgewertet und ist danach nicht mehr vorhanden (wie opt, wird jedoch auch von Maxima ausgewertet) ratsimp(x+x) 2*x
noopt Ausdruck wird nicht optimiert, bleibt also so erhalten wie angegeben. Die Funktion an sich geht aber verloren. noopt(2+3) 2+3
nopt Ausdruck wird nicht optimiert, bleibt also so erhalten wie angegeben. Die Funktion bleibt erhalten und wird erst bei der Lösungsberechnung oder durch opt() entfernt. noopt(2+3) 2+3
lopt Im Maximafeld bleibt die Funktion ohne Funktion erhalten, im Ergebnis {= wird die Funktion entfernt und in der Lösung wird nach dem Einsetzen der Werte der Ausdruck vollständig optimiert. lopt(x+3) lopt(x+3)
lnoopt Im Maximafeld bleibt die Funktion ohne Funktion erhalten, im Ergebnis {= wird die Funktion entfernt und in der Lösung wird nach dem Einsetzen der Werte der Ausdruck nicht mehr optimiert. lnoopt(x+3+2) lnoopt(x+5)
loptnumeric Im Maximafeld bleibt die Funktion ohne Funktion erhalten, im Ergebnis {= wird die Funktion entfernt und in der Lösung wird nach dem Einsetzen der Werte der Ausdruck nur numerisch optimiert. loptnumeric(x+y) loptnumeric(x+y)
aopt Bei Maxima und Lösung geht die Funktion verloren, nur innerhalb von noopt bleibt sie erhalten. Bei der Anzeige führt sie zur Optimierung das Ausdruckes nach Einsetzen der Datensätze. aopt(x) x

Anzeige und Lösungsberechnung

Diese Funktionen haben entweder einen oder zwei Parameter. Der erste Parameter stellt die darzustellende Funktion dar, der zweite Parameter, welcher eine Ganzzahl sein muss, gibt an, wie die Darstellung erfolgen soll. Wird der 2.Parameter weggelassen, so wird er als 0 interpretiert.

  • 0 Bei Berechnungen hat die Funktion keine Wirkung, bleibt aber als Funktion erhalten. Bei Lösung und Anzeige wird die Funktion ausgewertet
  • 1 Wirkt nur bei Lösung, bei Berechnungen bleibt die Funktion erhalten
  • 2 Wirkt nur bei Anzeige, bei Berechnungen bleibt die Funktion erhalten
Funktion Beschreibung Beispiel Ergebnis
viewpow Gibt alle Wurzeln als Potenzen aus, und stellt alle Potenzen im Nenner als negativen Exponenten im Zähler dar viewpow(sqrt(x)) x^(1/2)
viewsqrt Gibt Potenzen welche als Wurzel darstellbar sind auch als als Wurzeln mit der Funktion sqrt oder root aus viewsqrt(x^(1/2)) sqrt(x)


Datums und Zeitfunktionen

Funktion Beschreibung Beispiel Ergebnis REvision
dateparse Wandelt einen String in ein Datum als Ganzzahl in Sekunden seit 1.1.0000 6530
date date(y,m,d,h,min,sec) erzeugt ein Datum als Ganzzahl in Sekunden seit 1.1.000 6530
datestring datestring(x) datestring(x,\"format\") erzeugt aus einem Datum in Sekunden seit 1.1.0000 eine Stringausgabe 6530
timestring erzeugt eine Uhrzeit als String 6530
datetimestring erzeugt Datum und Uhrzeit als String 6530
dateyear Erzeugt aus einem Datum als Ganzzahl das Jahr 6530
datemonth Erzeugt aus einem Datum als Ganzzahl das Monat 6530
dateday Erzeugt aus einem Datum als Ganzzahl den Tag 6530
datehour Erzeugt aus einem Datum als Ganzzahl die Stunde 6530
dateminute Erzeugt aus einem Datum als Ganzzahl die Minute 6530
datesecond Erzeugt aus einem Datum als Ganzzahl die Sekunde 6530
datediff Rechnet die Differenz von 2 ganzzahligen Datumswerten. Erstes minus zweites Datum. Ergebnis als Double in Sekunden 6530
dateweekday Liefert den Wochentag beginnend mit Montag als 1 und Sonntag als 7 6530
dateweek Liefert die Kalenderwoche des Tages innerhalb des Jahres 6530
datedayofyear Liefert den Tag des Jahres 6530
years Erzeugt aus einem Sekundenwert die Jahre (/365d) als Double ohne Einheit 6530
months Erzeugt aus einem Sekundenwert die Monate (/30d) als Double ohne Einheit 6530
weeks Erzeugt aus einem Sekundenwert die Wochen (/7d) als Double ohne Einheit 6530
days Erzeugt aus einem Sekundenwert die Tage als Double ohne Einheit 6530
hours Erzeugt aus einem Sekundenwert die Stunden als Double ohne Einheit 6530
minutes Erzeugt aus einem Sekundenwert die Minuten als Double ohne Einheit 6530
seconds Erzeugt aus einem Sekundenwert die Sekunden als Double ohne Einheit 6530

Spezialfunktionen LeTTo

Funktion Beschreibung Beispiel Ergebnis
points Berechnet die erreichbare Gesamtpunkteanzahl einer Frage points() 2
points Berechnet die erreichbare Punkteanzahl einer Teilfrage. Als Parameter wird die Fragenummer als Ganzzahl angegeben. points(0) 1

Spezialfunktionen Technik

Funktion Beschreibung Beispiel Ergebnis
color Widerstandsfarbcode berechnen.
1. Parameter muss ein Double sein
2.Parameter sind die Anzahl der Farbringe
3.Parameter ist der Modus (0..2-St,1..3St,2..Deutsch,3..2StEng,4..3StEng,5..Englisch
color(120,3,2) braun,rot,braun
parsecolor Wandelt einen String mit einem Widerstandsfarbcode in einen Double-Wert parsecolor("br-rt-br") 120
ip Wandelt eine Long-Zahl in einen String als IP-Adresse um, oder 4 Byte-Zahlen in eine Long Zahl als IP-32-bit-Adresse ip(1534536453)
ip(10,20,30,40)
"91.119.43.5"
169090600
parseip Wandelt einen String mit einer IP-Adresse in einen Long-Wert parseip("91.119.43.5") 1534536453
e12 rundet einen Zahlenwert auf den nächstliegenden Wert der Normreihe E12.
Die Rundung erfolgt geometrisch d.h. der Quotient zwischen Normwert und zu rundendem Wert wird minimiert.
e12(700Ohm) 680Ohm
e12up rundet einen Zahlenwert auf den nächstgrößerern Wert der Normreihe E12 e12(670Ohm) 680Ohm
e12down rundet einen Zahlenwert auf den nächstkleineren Wert der Normreihe E12 e12(700Ohm) 680Ohm
ise12 prüft ob der als Parameter übergebenen Wert ein Wert der Normreihe E12 ist. ise12(680Ohm) true
norm rundet einen Zahlenwert auf den nächstliegenden Wert einer gegebenen Wertereihe oder Normreihe.
Die Rundung erfolgt geometrisch wenn es sich um eine logarithmisch aufgeteilte Normreihe handelt, oder sonst linear.
norm(700Ohm,E12) 680Ohm
normup rundet einen Zahlenwert auf den nächstgrößerern Wert einer gegebenen Wertereihe oder Normreihe. normup(730Ohm,[1,3,5,8]) 800Ohm
normdown rundet einen Zahlenwert auf den nächstkleineren Wert einer gegebenen Wertereihe oder Normreihe. normdown(700Ohm,E12) 680Ohm
isnorm prüft ob der als Parameter übergebenen Wert ein Wert einer gegebenen Wertereihe oder Normreihe ist. isnorm(680Ohm,E12) true

Raumzeiger für elektrische Maschinen

Funktion Beschreibung Beispiel Ergebnis
svphtosv(a,b,c) berechnet aus den Stranggrößen (a,b,c) einen komplexen Raumzeiger svphtosv(0.5,0.5,-1) 1arg60°
svsvtoph(sv)
svsvtoph(sv,index)
berechnet aus einem komplexen Raumzeiger die Stranggrössen
berechnet aus einem komplexen Raumzeiger die Stranggrössen, index selektiert Stranggröße als Rückgabewert
svsvtoph(1arg60°)
svsvtoph(1arg60°,3)
[0.5,0.5,-1]
-1

Probleme mit großen Gleichungssystemen

Bei der Verwendung von Plugins (zB: Drehstromplugin) können sehr rasch sehr große Gleichungssysteme entstehen. Der Standard-Lösungsweg, dass die Gleichungen algebraisch aufgelöst werden und dann zur Laufzeit die Werte eingesetzt werden, kann somit sehr lange Berechnungszeiten nach sich ziehen. Effizienter ist es, das Gleichungssystem zur Laufzeit mit eingesetzten Zahlen zu rechnen.

Dazu gibt es die Möglichkeit, in der Frage das Häkchen Vorberechnung auszuwählen, dann werden die Ergebnisse erst zur Laufzeit gerechnet.

Achtung: Der Parser hat Probleme mit der Berechnung von großen Gleichungssystemen. Es sollte daher zur Laufzeit bei der Verwendung von Drehstrom-Plugins mit Maxima gerechnet werden. Dabei werden allerdings alle Einheiten entfernt und können wieder über .... zu den entsprechenden Formelzeichen hinzugefügt werden. Bedenken Sie aber, dass die Einheiten bei Berechnung mit Maxima zur Laufzeit prinzipiell verloren gehen.

Ergebnisvorschau

Aufruf dieses Dialoges über den -Button aus dem Toolbar.

Die Berechnungen aus dem Maxima-Feld bei der Fragendefinition können auch über den -Button durchgeführt werden. Hier wird die Berechnung durchgeführt und das Lösungsfeld ausgefüllt, aber der Rechengang wird nicht angezeigt.

Beim Fehlersuchen oder bei komplexen Berechnungen kann es aber hilfreich sein, den ganzen Maxima-Lösungsweg zu sehen, dies ist über den -Button möchlich.