Berechnungen

Berechnungen werden in mehreren Bereichen der Frageerstellung verwendet und bilden die Basis für Berechnungsfrage und Mehrfachberechnungsfrage.

Grundsätzlicher Aufbau der Ergebnis-Berechnung einer berechnenden Frage

Schema der Berechnung

Die Berechnung und die Beurteilung einer Frage teilt sich in 3 grundsätzliche Schritte:

• Berechnnug der Lösung aus den Maxima-Feldern
• Berechnung des Ergebnisses durch Einsetzen der Datensätze
• Beurteilung der Schülereingabe durch Vergleich mit dem Ergebnis

Konstante

Alle Konstante welche in Letto definiert sind beginnen mit einem Prozentzeichen. Verwendet man den Variablennamen ohne Prozenzzeichen, so wird die Konstante wie eine Variable mit dem Wert der Konstanten verwendet.

Liste der definierten Konstanten:

Name	Wert	Beschreibung
%i	i	komplexer Parameter als Lösung der Gleichung x^2=-1
%j	i	komplexer Parameter als Lösung der Gleichung x^2=-1
%e	2.718281828459045	Eulersche Zahl
%pi	3.141592653589793	Kreiszahl
%mu0	magnetische Feldkonstante	4*%pi*1E-7'Vs/Am'
%m0	magnetische Feldkonstante (alt, wird bald entfernt werden)	4*%pi*1E-7'Vs/Am'
%epsilon0	elektrische Feldkonstante	8.85418781762039E-12'As/Vm'
%e0	elektrische Feldkonstante (alt, wird bald entfernt werden)	8.85418781762039E-12'As/Vm'
%c0	Lichtgeschwindigkeit	299792458'm/s'
%Qe	Elementarladung	1.602176620898E-19As
%g	Erdbeschleunigung	9.81'm/s^2'
%NA	Avogadro Konstante	6.02214085774E23/mol
%k	Stefan Bolzman Konstante	1.3806485279E-23'J/K'
%R0	Universelle Gaskonstante	8.314459848'J/Kmol'
%h	planksches Wirkungsquantum	6.6260704081E-34Js

Berechnung mit Maxima

• Maxima wird nur für symbolische Berechnungen bei der Erstellung von Beispielen verwendet. Hierbei wird, wie schon oberhalb im Schema angegeben, zuerst die Moodle.mac geladen, dann das Maximafeld berechnet und anschließend die Maxima-Felder aller Teilfragen. Das Ergebnis der Berechnung wird dann als symbolischer Ausdruck im Lösungfeld eingetragen.
• Da zum Zeitpunkt der Maxima-Berechnung keine Datensätze vorhanden sind, kann keine numerische Berechnung in Maxima durchgeführt werden, welche die Datensätze benötigt. Dies muss der interne Parser zum Zeitpunkt des Online-Test-Laufes erledigen. Numerische Berechnungen, welche der interne Parser nicht kann können deshalb auch nicht mit Maxima berechnet werden.
• Da das Lösungsfeld, welches mit Maxima berechnet wird symbolisch ausgewertet wird, können in Maxima sämtliche symbolischen Berechnungsverfahren angewendet werden, welche ein symbolisches Ergebnis liefern und keine numerischen Werte der Datensätze benötigen.

Berechnung mit dem internen Parser

• Der interne Parser kann durch Wahl der Checkbox "Parser" anstatt von Maxima für die Berechnung des Maxima-Feldes verwendet werden.
• Jedenfalls wird der Parser zur Test-Laufzeit für die Berechnung des Ergebnisses einer Frage aus Lösung und Datensätzen und zum Berechnen der Schülereingabe verwendet.

Operatoren

Infix Operatoren

arithmetische Operatoren

Operator	Priorität	Beschreibung	Beispiel	Ergebnis
+	40	Addition	4+5	9
-	40	Subtraktion	6-2	4
*	50	Multiplikation	4*5	20
/	51	Division	20/4	5
%	51	Divisionsrest	104%20	4
/ /	60	Parallelschaltung	x / / y	x*y/(x+y)
^	90	Potenz	2^3	8
.*.	200	Operator der intern für eine fehlende bindende Multiplikation verwendet wird	4x	4*x

Bitoperatoren

Operator	Priorität	Beschreibung	Beispiel	Ergebnis
	20	Bitweise ODER	5	13
or	20	Bitweise ODER	9 or 5	13
&	21	Bitweise UND	13&10	8
and	21	Bitweise UND	13 and 10	8
xor	22	Bitweise exklusiv oder XOR	13 xor 10	7
imp	23	Bitweise impliziert IMP	13 imp 10	8
<<	35	Bitweise links schieben	5<<2	20
>>	35	Bitweise rechts schieben	8>>2	2

Vergleichsoperatoren

Operator	Priorität	Beschreibung	Beispiel
=	3	Gleichungsoperator	x=y
==	30	Gleichungsoperator	x==y
!=	30	Ungleichungsoperator	x!=y
<	32	Kleiner	x<y
<=	32	Kleiner gleich	x<=y
>	32	größer	x>y
>=	32	größer gleich	x>=y

Organisative Operatoren

Operator	Priorität	Beschreibung	Beispiel	Ergebnis
,	0	Listen-Trennzeichen	x,y
$	1	Trennzeichen zwischen mehreren Berechnungen
;	1	Trennzeichen zwischen mehreren Berechnungen
:	2	Zuweisung an eine Variablen auf der linken Seite	x:5

Prefix Operatoren

Operator	Priorität	Beschreibung	Beispiel	Ergebnis
+	45	positives Vorzeichen	+5	5
-	45	negatives Vorzeichen	-(-5)	5
~	95	bitweise Inversion einer 64bit-Ganzzahl	~0x0F0F	0xFFFFFFFFFFFFF0F0
!	120	logisches NOT	!(3<4)	false
++	130	Inkrement von Ganzzahlen	++x	erhöht x um eins und gibt das Ergebnis nach der Erhöhung zurück
--	130	Dekrement von Ganzzahlen	--x	vermindert x um eins und gibt das Ergebnis nach der Verminderung zurück
%	200	Prefix für Namen, welche als Konstante definiert sind	%pi	3.141592653589793

Suffix Operatoren

Operator	Priorität	Beschreibung	Beispiel	Ergebnis
++	135	Inkrement von Ganzzahlen	x++	erhöht x um eins und gibt den Variablenwert vor der Erhöhung zurück
--	135	Dekrement von Ganzzahlen	x--	vermindert x um eins und gibt den Variablenwert vor der Verminderung zurück

Klammern

• () runde Klammern werden für mathematische Ausdrücke zur Klammerung verwendet
• {} geschwungene Klammer werden im Angabetext für die Namen der Datensätze verwendet
• [] eckige Klammern werden für Vektoren und Matrizen verwendet

Funktionen

Funktionen für Ganzzahlen

Funktion	Beschreibung	Beispiel	Ergebnis
band	bitweises UND	band(4,12)	4
bor	bitweises ODER	bor(4,1)	5
bxor	bitweises EXKLUSIV ODER	band(4,5)	1
bimp	bitweises Parameter1 impliziert Parameter2	bimp(13,10)	8
binv	bitweises NICHT mit 8 bit	binv(0x0F)	0xF0

boolsche Funktionen

Funktion	Beschreibung	Beispiel	Ergebnis
ge	größer gleich	ge(6,4)	true
le	kleiner gleich	le(6,4)	false
gt	größer	gt(6,4)	true
lt	kleiner	lt(6,4)	false
between	prüft ob Parameter1 kleiner als Parameter2 und Parameter2 kleiner als Parameter 3	between(3,4,5)	true
land	logisches UND	land(a<b,b<c)
lor	logisches ODER	lor(a<b,b<c)
not	logisches NICHT	not(a<b)

arithmetische Funktionen

Funktion	Beschreibung	Beispiel	Ergebnis
double	Zahl ein eine Gleitkommazahl umwandeln, die Einheit geht dabei verloren	double(3.4V)	3.4
pow	Potenzfunktion	pow(2,3)	8
par	Parallelschaltung von Widerständen	par(x,y)	x*y/(x+y)
min	Minimum von mehrere Werten suchen	min(3,5,1)	1
max	Maximum von mehreren Werten suchen	max(3,5,1)	5

Stringfunktionen

Funktion	Beschreibung	Beispiel	Ergebnis
dechex	Zahl in eine Ganzzahl wandeln und als Hexadezimal-String ausgeben	dexhex(12)	"0xC"

trigonometrische Funktionen

Funktion	Beschreibung	Beispiel	Ergebnis
sin	Sinus	sin(%pi/2)	1

Exponentialfunktionen

Funktion	Beschreibung	Beispiel	Ergebnis
pow	Potenzfunktion	pow(2,3)	8

Algebra

Funktion	Beschreibung	Beispiel	Ergebnis
matrix	erzeugt aus mehreren gleich langen Vektoren eine Matrix	matrix([1,2],[3,4])	[[1,2],[3,4]]

Auswertung

Funktion	Beschreibung	Beispiel	Ergebnis
ev	Auswertung eines Ausdruckes, als Parameter können Gleichungen angegeben werden, welche dann in den Ausdruck eingesetzt werden	ev(x*y,y=4)	x*4

Anzeige und Lösungsberechnung

Diese Funktionen haben entweder einen oder zwei Parameter. Der erste Parameter stellt die darzustellende Funktion dar, der zweite Parameter, welcher eine Ganzzahl sein muss, gibt an, wie die Darstellung erfolgen soll.

• 0 Bei Berechnungen hat die Funktion keine Wirkung, bleibt aber als Funktion erhalgen. Bei Lösung und Anzeige wird die Funktion ausgewertet
• 1 Wirkt nur bei Lösung, bei Berechnungen bleibt die Funktion erhalten
• 2 Wirkt nur bei Anzeige, bei Berechnungen bleibt die Funktion erhalten

Funktion	Beschreibung	Beispiel	Ergebnis
viewpow	Gibt alle Wurzeln als Potenzen aus, und stellt alle Potenzen im Nenner als negativen Exponenten im Zähler dar	viewpow(sqrt(x))	x^(1/2)

Spezialfunktionen

Funktion	Beschreibung	Beispiel	Ergebnis
e12	rundet einen Zahlenwert auf den nächstliegenden Wert der Normreihe E12. Die Rundung erfolgt geometrisch d.h. der Quotient zwischen Normwert und zu rundendem Wert wird minimiert.	e12(700Ohm)	680Ohm
e12up	rundet einen Zahlenwert auf den nächstgrößerern Wert der Normreihe E12	e12(670Ohm)	680Ohm
e12down	rundet einen Zahlenwert auf den nächstkleineren Wert der Normreihe E12	e12(700Ohm)	680Ohm
ise12	prüft ob der als Parameter übergebenen Wert ein Wert der Normreihe E12 ist.	ise12(680Ohm)	true
norm	rundet einen Zahlenwert auf den nächstliegenden Wert einer gegebenen Wertereihe oder Normreihe. Die Rundung erfolgt geometrisch wenn es sich um eine logarithmisch aufgeteilte Normreihe handelt, oder sonst linear.	norm(700Ohm,E12)	680Ohm
normup	rundet einen Zahlenwert auf den nächstgrößerern Wert einer gegebenen Wertereihe oder Normreihe.	normup(730Ohm,[1,3,5,8])	800Ohm
normdown	rundet einen Zahlenwert auf den nächstkleineren Wert einer gegebenen Wertereihe oder Normreihe.	normdown(700Ohm,E12)	680Ohm
isnorm	prüft ob der als Parameter übergebenen Wert ein Wert einer gegebenen Wertereihe oder Normreihe ist.	isnorm(680Ohm,E12)	true

Folgende Normreihen sind für norm, normup, normdown und isnorm definiert:

Name	Werte
E3	1, 2.2, 4.7
E6	1, 1.5, 2.2, 3.3, 4.7, 6.8
E12	1, 1.2, 1.5, 1.8, 2.2, 2.7, 3.3, 3.9, 4.7, 5.6, 6.8, 8.2
E24	1, 1.1, 1.2, 1.3, 1.5, 1.6, 1.8, 2.0, 2.2, 2.4, 2.7, 3.0, 3.3, 3.6, 3.9, 4.3, 4.7, 5.1, 5.6, 6.2, 6.8, 7.5, 8.2, 9.1
E48	1, 1.05, 1.1, 1.15, 1.21, 1.27, 1.33, 1.40, 1.47, 1.54, 1.62, 1.69, 1.78, 1.87, 1.96, 2.05, 2.15, 2.26, 2.37, 2.49, 2.61, 2.74, 2.87, 3.01, 3.16, 3.32, 3.48, 3.65, 3.83, 4.02, 4.22, 4.42, 4.64, 4.87, 5.11, 5.36, 5.62, 5.9, 6.19, 6.49, 6.81, 7.15, 7.5, 7.87, 8.25, 8.66, 9.09, 9.53
D2	1, 5
D3	1, 2, 5
D4	1, 2, 4, 8
D10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
D20	1, 1.5, 2, 2.5, 3, 3.5, 4, 4.5, 5, 5.5, 6, 6.5, 7, 7.5, 8, 8.5, 9, 9.5
D40	1, 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6, 1.7, 1.8, 1.9, 2, 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, 2.8, 3, 3.2, 3.4, 3.5, 3.6, 3.8, 4, 4.5, 5, 5.5, 6, 6.5, 7, 7.5, 8, 8.5, 9, 9.5