Berechnungen

Allgemeines

Berechnungen werden in mehreren Bereichen der Frageerstellung verwendet und bilden die Basis für Berechnungsfrage und Mehrfachberechnungsfrage.

Alle Berechnungen unterstützen Einheiten und symbolische Auswertung.

Grundsätzlicher Aufbau der Ergebnis-Berechnung einer berechnenden Frage

Schema der Berechnung

Die Berechnung und die Beurteilung einer Frage teilt sich in 3 grundsätzliche Schritte:

• Berechnnug der Lösung aus den Maxima-Feldern
• Berechnung des Ergebnisses durch Einsetzen der Datensätze
• Beurteilung der Schülereingabe durch Vergleich mit dem Ergebnis

Konstante

Alle Konstante welche in Letto definiert sind beginnen mit einem Prozentzeichen. Verwendet man den Variablennamen ohne Prozenzzeichen, so wird die Konstante wie eine Variable mit dem Wert der Konstanten verwendet.

Liste der definierten Konstanten:

Name	Wert	Beschreibung
%i	i	komplexer Parameter als Lösung der Gleichung x^2=-1
%j	i	komplexer Parameter als Lösung der Gleichung x^2=-1
%e	2.718281828459045	Eulersche Zahl
%pi	3.141592653589793	Kreiszahl
%mu0	magnetische Feldkonstante	4*%pi*1E-7'Vs/Am'
%m0	magnetische Feldkonstante (alt, wird bald entfernt werden)	4*%pi*1E-7'Vs/Am'
%epsilon0	elektrische Feldkonstante	8.85418781762039E-12'As/Vm'
%e0	elektrische Feldkonstante (alt, wird bald entfernt werden)	8.85418781762039E-12'As/Vm'
%c0	Lichtgeschwindigkeit	299792458'm/s'
%Qe	Elementarladung	1.602176620898E-19As
%g	Erdbeschleunigung	9.81'm/s^2'
%NA	Avogadro Konstante	6.02214085774E23/mol
%k	Stefan Bolzman Konstante	1.3806485279E-23'J/K'
%R0	Universelle Gaskonstante	8.314459848'J/Kmol'
%h	planksches Wirkungsquantum	6.6260704081E-34Js

Berechnung mit Maxima

• Maxima wird nur für symbolische Berechnungen bei der Erstellung von Beispielen verwendet. Hierbei wird, wie schon oberhalb im Schema angegeben, zuerst die Moodle.mac geladen, dann das Maxima-Feld berechnet und anschließend die Maxima-Felder aller Teilfragen. Das Ergebnis der Berechnung wird dann als symbolischer Ausdruck im Lösungfeld eingetragen.
• Da zum Zeitpunkt der Maxima-Berechnung keine Datensätze vorhanden sind, kann keine numerische Berechnung in Maxima durchgeführt werden, welche die Datensätze benötigt. Dies muss der interne Parser zum Zeitpunkt des Online-Test-Laufes erledigen. Numerische Berechnungen, welche der interne Parser nicht kann können deshalb auch nicht mit Maxima berechnet werden.
• Da das Lösungsfeld, welches mit Maxima berechnet wird symbolisch ausgewertet wird, können in Maxima sämtliche symbolischen Berechnungsverfahren angewendet werden, welche ein symbolisches Ergebnis liefern und keine numerischen Werte der Datensätze benötigen.

Berechnung mit dem internen Parser

• Der interne Parser kann durch Wahl der Checkbox "Parser" anstatt von Maxima für die Berechnung des Maxima-Feldes verwendet werden.
• Jedenfalls wird der Parser zur Test-Laufzeit für die Berechnung des Ergebnisses einer Frage aus Lösung und Datensätzen und zum Berechnen der Schülereingabe verwendet.

Operatoren

VORSICHT mit MAXIMA

• Einige Operatoren sind in Maxima anders, oder nicht definiert. Möchte man im Maximafeld die Operatoren des Parsers-verwenden, so muss das gesamte Maxima-Feld mit dem Parser gerechnet werden. Man verliert dadurch jedoch die Vorteile der Maxima-Berechnung.
• Alternativ kann man statt der Operatoren auch Funktionen verwenden (zB: ne() statt != ). Diese werden dann von Maxima zwar nicht ausgewertet, die Berechnung bleibt aber trotzdem korrekt und kann mit Maxima durchgeführt werden.
• Es gibt einige Funktionen welche in Maxima existieren aber im Parser nicht, oder mit anderem Syntax.
  • Wenn diese von Maxima nicht ausgewertet werden können, da sie Datensätze enthalten welche zu Auswertezeitpunkt von Maxima noch nicht mit Werten belegt sind, dürfen sie in der Berechnung nicht verwendet werden, da der Parser dann damit nichts anfangen kann.
  • zB:

if then

• • Solche Funktionen haben entweder im Parser eine alternative Schreibweise welche auch mit Maxima verwendet werden kann (z.B.: wenn), oder sie können prinzipell nicht verwendet werden. (Für wichtige Funktionsweisen könnte man in zukünftigen Versionen neue Funktionalitäten in den Parser einbauen, die die gewünschte Funktion erfüllen)
  • Ein weiter Möglichkeit für die Verwendung solcher Funktionen ist der Verzicht auf Datensätze in diesen Funktionen, damit diese Funktion beim Auswerten des Maxima-Feldes bereits ausgewertet werden kann und somit der Parser davon nichts mehr sieht.

Infix Operatoren

arithmetische Operatoren

Operator	Priorität	Beschreibung	Beispiel	Ergebnis
+	40	Addition	4+5	9
-	40	Subtraktion	6-2	4
*	50	Multiplikation	4*5	20
/	51	Division	20/4	5
%	51	Divisionsrest	104%20	4
/ /	60	Parallelschaltung	x / / y	x*y/(x+y)
^	90	Potenz	2^3	8
.*.	200	Operator der intern für eine fehlende bindende Multiplikation verwendet wird	4x	4*x

Bitoperatoren

Operator	Priorität	Beschreibung	Beispiel	Ergebnis
	20	Bitweise ODER	5	13
or	20	Bitweise ODER	9 or 5	13
&	21	Bitweise UND	13&10	8
and	21	Bitweise UND	13 and 10	8
xor	22	Bitweise exklusiv oder XOR	13 xor 10	7
imp	23	Bitweise impliziert IMP	13 imp 10	8
<<	35	Bitweise links schieben	5<<2	20
>>	35	Bitweise rechts schieben	8>>2	2

Vergleichsoperatoren

Operator	Priorität	Beschreibung	Beispiel
=	3	Gleichungsoperator	x=y
==	30	Gleichungsoperator	x==y
!=	30	Ungleichungsoperator	x!=y
<	32	Kleiner	x<y
<=	32	Kleiner gleich	x<=y
>	32	größer	x>y
>=	32	größer gleich	x>=y

Organisative Operatoren

Operator	Priorität	Beschreibung	Beispiel	Ergebnis
,	0	Listen-Trennzeichen	x,y
$	1	Trennzeichen zwischen mehreren Berechnungen
;	1	Trennzeichen zwischen mehreren Berechnungen
:	2	Zuweisung an eine Variablen auf der linken Seite	x:5

Prefix Operatoren

Operator	Priorität	Beschreibung	Beispiel	Ergebnis
+	45	positives Vorzeichen	+5	5
-	45	negatives Vorzeichen	-(-5)	5
~	95	bitweise Inversion einer 64bit-Ganzzahl	~0x0F0F	0xFFFFFFFFFFFFF0F0
!	120	logisches NOT	!(3<4)	false
++	130	Inkrement von Ganzzahlen	++x	erhöht x um eins und gibt das Ergebnis nach der Erhöhung zurück
--	130	Dekrement von Ganzzahlen	--x	vermindert x um eins und gibt das Ergebnis nach der Verminderung zurück
%	200	Prefix für Namen, welche als Konstante definiert sind	%pi	3.141592653589793

Suffix Operatoren

Operator	Priorität	Beschreibung	Beispiel	Ergebnis
++	135	Inkrement von Ganzzahlen	x++	erhöht x um eins und gibt den Variablenwert vor der Erhöhung zurück
--	135	Dekrement von Ganzzahlen	x--	vermindert x um eins und gibt den Variablenwert vor der Verminderung zurück

Klammern

• () runde Klammern werden für mathematische Ausdrücke zur Klammerung verwendet
• {} geschwungene Klammer werden im Angabetext für die Namen der Datensätze verwendet
• [] eckige Klammern werden für Vektoren und Matrizen verwendet

Funktionen

Funktionen für Ganzzahlen

Funktion	Beschreibung	Beispiel	Ergebnis
band	bitweises UND	band(4,12)	4
bor	bitweises ODER	bor(4,1)	5
bxor	bitweises EXKLUSIV ODER	band(4,5)	1
bimp	bitweises Parameter1 impliziert Parameter2	bimp(13,10)	8
binv	bitweises NICHT mit 8 bit	binv(0x0F)	0xF0
shl	Schiebe Ganzzahl bitweise nach links	shl(8,2)	32
shr	Schiebe Ganzzahl bitweise nach rechts	shr(8,2)	2
div	Ganzzahldivision, Ergebnis wird abgeschnitten	div(5,2)	2
mod	Modulo: Divisionsrest einer Ganzzahldivision	mod(5,2)	1
inv8	bitweise Invertieren und die letzten 8 Bit bestimmen	inv8(0b1001)	0b11110110
inv16	bitweise Invertieren und die letzten 16 Bit bestimmen	inv16(0xF0)	0xFF0F
inv32	bitweise Invertieren und die letzten 32 Bit bestimmen	inv32(0xF0)	0bFFFFFF0F
inv64	bitweise Invertieren und die letzten 64 Bit bestimmen	inv64(0xF0)	0bFFFFFFFFFFFFFF0F
byte	Zahl in eine Ganzzahl wandeln und die letzten 8bit der Zahl Abschneiden, Einheit geht verloren	byte(34.2)	34
word	Zahl in eine Ganzzahl wandeln und die letzten 16bit der Zahl Abschneiden, Einheit geht verloren	word(34.2)	34
int	Zahl in eine Ganzzahl wandeln und die letzten 32bit der Zahl Abschneiden, Einheit geht verloren	int(34.2)	34
long	Zahl in eine Ganzzahl wandeln , Einheit geht verloren	long(34.2)	34
parity	Paritätsberechnung : parity(Parität,Codewortlänge,Datenwort[,Datenwort,....])	parity(even,7,"xy")
blockparity	Kreuz oder Blockparität : blockparity(Parität,Codewortlänge,Codewortanzahl,Datenwort[,Datenwort,....])	blockparity(even,7,3,"abc")
bcd	Wandelt in eine Long-Zahl in ein Feld aus BCD-kodierten Zahlen um	bcd(124)	[1,2,4]
code	Code aus mehreren Codeworten zusammensetzen : code(Codewortlänge,Datenwort[,Datenwort,....])	code(5,4,3,5)	0b1000001100101
hamming	Bestimmt den Hamming-Abstand von mehreren Codeworten	hamming(1,2,4,8,16)	2
komplement	Bildet das Zweierkomplement mit einer negativen Zahl mit einer bestimmten Bitanzahl, fehlt die Bitanzahl, so wird ein 32Bit-2er-komplement gebildet	komplement(-5,8)	0b11111011
bitstream	Erzeugt aus einer Ganzzahl einen Bitstrom als String mit einer definierten Anzahl von Bit (MSB werden nötigenfalls mit 0 gefüllt) : bitstream(Daten,Bitanzahl)	bitstream(0x184,12)	"000110000100"

boolsche Funktionen

Funktion	Beschreibung	Beispiel	Ergebnis
eq	gleich	ge(4,4)	true
ne	ungleich	ne(6,4)	true
ge	größer gleich	ge(6,4)	true
le	kleiner gleich	le(6,4)	false
gt	größer	gt(6,4)	true
lt	kleiner	lt(6,4)	false
between	prüft ob Parameter1 kleiner als Parameter2 und Parameter2 kleiner als Parameter 3	between(3,4,5)	true
land	logisches UND	land(a<b,b<c)
lor	logisches ODER	lor(a<b,b<c)
not	logisches NICHT	not(a<b)

arithmetische Funktionen

Funktion	Beschreibung	Beispiel	Ergebnis
double	Zahl ein eine Gleitkommazahl umwandeln, die Einheit geht dabei verloren	double(3.4V)	3.4
numeric	verwirft die Einheit, wenn eine vorhanden ist und liefert nur den Zahlenwert	numeric(2.3A)	2.3
cround	Rundet die Zahl kaufmännisch, der zweite Parameter gibt die Anzahl der Kommastellen an, ohne 2.Parameter wird auf Ganzzahlen gerundet	cround(23.535,2)	23.54
round	Rundet die Zahl kaufmännisch, der zweite Parameter gibt die Anzahl der Kommastellen an, ohne 2.Parameter wird auf Ganzzahlen gerundet	round(23.535,2)	23.54
ground	Rundet die Zahl auf die im zweiten Parameter angegebenen gültigen Ziffern	ground(2453.43,2)	2500
floor	Rundet auf die größte ganze Zahl, welche kleiner oder gleich x ist	floor(24.5)	24
trunc	Schneidet die Zahl nach dem Komma ab	trunc(24.5)	24
ceiling	ceiling(x) Rundet auf die kleinste ganze Zahl, welche größer oder gleich x ist	ceiling(13.2)	14
pow	Potenzfunktion	pow(2,3)	8
par	Parallelschaltung von Widerständen	par(x,y)	x*y/(x+y)
min	Minimum von mehrere Werten suchen	min(3,5,1)	1
max	Maximum von mehreren Werten suchen	max(3,5,1)	5
random	Zufallszahl aus einem definierten Zahlenbereich random(minimal,maximal)	random(2,8)	3.4532
randomC	komplexe Zufallszahl aus einem definierten Zahlenbereich für den Betrag	randomC(2,8)	3.4532arg40.3°
sigma	Sprungfunktion: sigma(x) liefert 0 für x<0 und 1 für x>=0	sigma(243.3)	1

Stringfunktionen

Funktion	Beschreibung	Beispiel	Ergebnis
dechex	Zahl in eine Ganzzahl wandeln und als Hexadezimal-String ausgeben	dexhex(12)	"0xC"
chr	Bestimmt die Zeichen mit dem ASC-II-Code der Long-Parameter und setzt daraus einen String zusammen.	chr(0x65,105)	"ei"
val	Bestimmt den ASC-II-Code des ersten Zeichens welches als String-Parameter übergeben wurde.	val("a")	97

trigonometrische Funktionen

Funktion	Beschreibung	Beispiel	Ergebnis
sin	Sinus	sin(%pi/2)	1
cos	Cosinus	cos(%pi/2)	0
tan	Tangends	tan(%pi/4)	1
asin	Arcus-Sinus	asin(1)	%pi/2
acos	Arcus-Cosinus	acos(1)	0
atan	Arcus-Tangends	atan(1)	%pi/4
arctan	Arcus-Tangends	arctan(1)	%pi/4
atan2	Arcus-Tangends atan2(x,y)=arctan(y/x)	atan2(-2,-2)	-%pi*3/4
arctan2	Arcus-Tangends arctan2(x,y)=arctan(y/x)	arctan2(-2,-2)	-%pi*3/4
csin	Erzeugt aus einer komplexen Zahl und einer Frequenz einen Sinusfunktion in der Zeit	csin(U)	cabs(U)*sin(2*pi*f*t+carg(U))

Exponentialfunktionen

Funktion	Beschreibung	Beispiel	Ergebnis
pow	Potenzfunktion	pow(2,3)	8
exp	Exponentialfunktion	exp(1)	%e
log	natürlicher Logarythmus	log(%e)	1
ln	natürlicher Logarythmus	ln(%e)	1
log10	Logarythmus zur Basis 10	log10(100)	2

komplexe Zahlen

Die Funktionen zu komplexen Zahlen werden (anders als in Maxima) nur ausgewertet wenn das Ergebnis numerisch berechenbar ist, ansonsten bleibt die Funktion symbolisch erhalten.

Funktion	Beschreibung	Beispiel	Ergebnis
abs	Liefert den Absolutbetrag einer komplexen Zahl	abs(3+4*%i)	5
cabs	Liefert den Absolutbetrag einer komplexen Zahl	cabs(3+4*%i)	5
carg	Liefert das Argument einer komplexen Zahl	arg(4*%e^(3*%i))	3
realpart	Liefert den Realteil einer komplexen Zahl	abs(3+4*%i)	3
imagpart	Liefert den Imaginärteil einer komplexen Zahl	abs(3+4*%i)	4
conjugate	Liefert die konjugiert komplexe Zahl einer komplexen Zahl	abs(3+4*%i)	3-4*%i
rectform	wandelt die komplexe Zahl in eine Ansicht mit Real- und Imaginärteil	3+4*%i	3+4*%i

Algebra

Funktion	Beschreibung	Beispiel	Ergebnis
matrix	erzeugt aus mehreren gleich langen Vektoren eine Matrix	matrix([1,2],[3,4])	[[1,2],[3,4]]
inv	invertiert eine quadratische Matrix oder bildet 1/x	inv(matrix([1,2],[3,4])
vget	liefert ein Element eines Vektors oder einer Matrix	vget([12,13,14],1)	13
vset	setzt ein Element eines Vektors oder einer Matrix	vset([12,13,14],1,35)	[12,35,14]
vinsert	fügt ein Element in einen Vektor an eine gegebene Stelle ein	vinsert([12,13,14],1,25)	[12,25,13,14]
vremove	löscht ein Element eines Vektors	vremove([12,13,14],1)	[12,14]

Auswertung und Programmierung

Funktion	Beschreibung	Beispiel	Ergebnis
ev	Auswertung eines Ausdruckes, als Parameter können Gleichungen angegeben werden, welche dann in den Ausdruck eingesetzt werden	ev(x*y,y=4)	x*4
if	Bedingungsfunktion if(bedingung,wahrwert,falschwert)	if(4<6,10,12)	10
wenn	Bedingungsfunktion wenn(bedingung,wahrwert,falschwert). Im Prinzip identisch wie if, jedoch kann if mit Maxima nicht verwendet werden.	wenn(4<6,10,12)	10
plugin	Ruft die Berechnnugsmethode des Plugins, welches als erster Stringparameter angegeben werden muss auf und übergibt die weiteren Parameter an die Berechnungsmethode des Plugins.	plugin("plugin1",3)	führt die Berechnung des Plugins mit dem Namen "plugin1" mit dem Parameter 3 aus.
symbolic	Bei allen Variablen innerhalb von symbolic werden nur nicht-numerische Werte eingesetzt! Wird vor allem im Angebtext bei {= } verwendet	symbolic(x^2+2)	x^2+2

Optimierung der Ausdrücke

Funktion	Beschreibung	Beispiel	Ergebnis
opt	Ausdruck wird vollständig optimiert, die Funktion wird ausgewertet und ist danach nicht mehr vorhanden	opt(x+x)	2*x
ratsimp	Ausdruck wird vollständig optimiert, die Funktion wird ausgewertet und ist danach nicht mehr vorhanden (wie opt)	ratsimp(x+x)	2*x
noopt	Ausdruck wird nicht optimiert, bleibt also so erhalten wie angegeben. Die Funktion an sich geht aber verlohren.	noopt(2+3)	2+3
lopt	Im Maximafeld bleibt die Funktion ohne Funktion erhalten, im Ergebnis {= wird die Funktion entfernt und in der Lösung wird nach dem Einsetzen der Werte der Ausdruck vollständig optimiert.	lopt(x+3)	lopt(x+3)
lnoopt	Im Maximafeld bleibt die Funktion ohne Funktion erhalten, im Ergebnis {= wird die Funktion entfernt und in der Lösung wird nach dem Einsetzen der Werte der Ausdruck nicht mehr optimiert.	lnoopt(x+3+2)	lnoopt(x+5)
loptnumeric	Im Maximafeld bleibt die Funktion ohne Funktion erhalten, im Ergebnis {= wird die Funktion entfernt und in der Lösung wird nach dem Einsetzen der Werte der Ausdruck nur numerisch optimiert.	loptnumeric(x+y)	loptnumeric(x+y)
aopt	Bei Maxima und Lösung geht die Funktion verloren, nur innerhalb von noopt bleibt sie erhalten. Bei der Anzeige führt sie zur Optimierung das Ausdruckes nach Einsetzen der Datensätze.	aopt(x)	x

Anzeige und Lösungsberechnung

Diese Funktionen haben entweder einen oder zwei Parameter. Der erste Parameter stellt die darzustellende Funktion dar, der zweite Parameter, welcher eine Ganzzahl sein muss, gibt an, wie die Darstellung erfolgen soll. Wird der 2.Parameter weggelassen, so wird er als 0 interpretiert.

• 0 Bei Berechnungen hat die Funktion keine Wirkung, bleibt aber als Funktion erhalten. Bei Lösung und Anzeige wird die Funktion ausgewertet
• 1 Wirkt nur bei Lösung, bei Berechnungen bleibt die Funktion erhalten
• 2 Wirkt nur bei Anzeige, bei Berechnungen bleibt die Funktion erhalten

Funktion	Beschreibung	Beispiel	Ergebnis
viewpow	Gibt alle Wurzeln als Potenzen aus, und stellt alle Potenzen im Nenner als negativen Exponenten im Zähler dar	viewpow(sqrt(x))	x^(1/2)
viewsqrt	Gibt Potenzen welche als Wurzel darstellbar sind auch als als Wurzeln mit der Funktion sqrt oder root aus	viewsqrt(x^(1/2))	sqrt(x)

Spezialfunktionen Technik

Funktion	Beschreibung	Beispiel	Ergebnis
color	Widerstandsfarbcode berechnen. 1. Parameter muss ein Double sein 2.Parameter sind die Anzahl der Farbringe 3.Parameter ist der Modus (0..2-St,1..3St,2..Deutsch,3..2StEng,4..3StEng,5..Englisch	color(120,3,2)	braun,rot,braun
parsecolor	Wandelt einen String mit einem Widerstandsfarbcode in einen Double-Wert	parsecolor("br-rt-br")	120
ip	Wandelt eine Long-Zahl in einen String als IP-Adresse um, oder 4 Byte-Zahlen in eine Long Zahl als IP-32-bit-Adresse	ip(1534536453) ip(10,20,30,40)	"91.119.43.5" 169090600
parseip	Wandelt einen String mit einer IP-Adresse in einen Long-Wert	parseip("91.119.43.5")	1534536453
e12	rundet einen Zahlenwert auf den nächstliegenden Wert der Normreihe E12. Die Rundung erfolgt geometrisch d.h. der Quotient zwischen Normwert und zu rundendem Wert wird minimiert.	e12(700Ohm)	680Ohm
e12up	rundet einen Zahlenwert auf den nächstgrößerern Wert der Normreihe E12	e12(670Ohm)	680Ohm
e12down	rundet einen Zahlenwert auf den nächstkleineren Wert der Normreihe E12	e12(700Ohm)	680Ohm
ise12	prüft ob der als Parameter übergebenen Wert ein Wert der Normreihe E12 ist.	ise12(680Ohm)	true
norm	rundet einen Zahlenwert auf den nächstliegenden Wert einer gegebenen Wertereihe oder Normreihe. Die Rundung erfolgt geometrisch wenn es sich um eine logarithmisch aufgeteilte Normreihe handelt, oder sonst linear.	norm(700Ohm,E12)	680Ohm
normup	rundet einen Zahlenwert auf den nächstgrößerern Wert einer gegebenen Wertereihe oder Normreihe.	normup(730Ohm,[1,3,5,8])	800Ohm
normdown	rundet einen Zahlenwert auf den nächstkleineren Wert einer gegebenen Wertereihe oder Normreihe.	normdown(700Ohm,E12)	680Ohm
isnorm	prüft ob der als Parameter übergebenen Wert ein Wert einer gegebenen Wertereihe oder Normreihe ist.	isnorm(680Ohm,E12)	true

Ergebnisvorschau

Aufruf dieses Dialoges über den -Button aus dem Toolbar.

Die Berechnungen aus dem Maxima-Feld bei der Fragendefinition können auch über den -Button durchgeführt werden. Hier wird die Berechnung durchgeführt und das Lösungsfeld ausgefüllt, aber der Rechengang wird nicht angezeigt.

Beim Fehlersuchen oder bei komplexen Berechnungen kann es aber hilfreich sein, den ganzen Maxima-Lösungsweg zu sehen, dies ist über den -Button möchlich.